4. Смешивание стратегий в играх с ненулевой суммой

Методы поиска равновесий в смешанных стратегиях в играх с нулевой суммой (такие как защищенность от использования соперником или свойство безразличия соперника) применимы и к играм с ненулевой суммой, причем в некоторых из них действительно позволяют найти равновесия в смешанных стратегиях. Однако в таких играх интересы игроков могут в определенной степени совпадать. Следовательно, тот факт, что другой игрок использует ваш системный выбор стратегий с выгодой для себя, необязательно означает, что это нанесет ущерб вам, как в случае игр с нулевой суммой. Например, в координационной игре, которую мы анализировали в главе 4, игроки способны лучше координировать свои действия, если каждый из них может полагаться на системные действия другого, поскольку случайный выбор действий только повышает риск неудачи с их координацией. Именно поэтому в играх с ненулевой суммой равновесия в смешанных стратегиях имеют слабое логическое обоснование или не имеют его вообще. Ниже мы проанализируем равновесия в смешанных стратегиях в контексте некоторых известных игр с ненулевой суммой, а также обсудим их значимость или отсутствие таковой.

Проиллюстрируем смешивание стратегий в играх с ненулевой суммой на примере игры «встреча», основанной на игре в доверие. Для вашего удобства мы воспроизводим таблицу этой игры (см. рис. 4.11) на рис. 7.3. Сначала проанализируем игру с точки зрения Салли. Если она уверена в том, что Гарри отправится в Starbucks, ей тоже следует туда пойти. Если она уверена, что Гарри выберет Local Latte, то же самое нужно сделать и ей. Но если Салли сомневается в выборе Гарри, то каким должен быть ее наилучший выбор?

Рис. 7.3. Игра в доверие

Чтобы ответить на этот вопрос, мы должны дать более четкую трактовку неопределенности в понимании Салли. (В теории вероятностей и статистике есть специальный термин для обозначения такой неопределенности — субъективная неопределенность. В контексте неопределенности относительно действий другого игрока это стратегическая неопределенность; вспомните о различиях, которые мы анализировали в разделе 2.Г главы 2). Для большей точности укажем, с какой вероятностью Гарри выберет то или иное кафе, по мнению Салли. Вероятность того, что это будет Local Latte, может быть выражена любым вещественным числом от 0 до 1 (то есть от 0 % до 100 %). Мы охватим все возможные варианты с помощью алгебраических формул, обозначив символом p вероятность того, что Гарри (по мнению Салли) выберет Starbucks; переменная p может иметь любое вещественное значение в диапазоне от 0 до 1. Тогда (1 — p) — это вероятность (снова по мнению Салли) того, что Гарри предпочтет Local Latte. Иными словами, мы описываем стратегическую неопределенность Салли следующим образом: она считает, что Гарри использует смешанную стратегию, применив совокупность двух чистых стратегий (Starbucks и Local Latte) в пропорциях или с вероятностью p и (1 — p) соответственно. Назовем эту смешанную стратегию p-комбинацией Гарри, хотя на данный момент это всего лишь идея, существующая в сознании Салли.

С учетом этой неопределенности Салли может вычислить ожидаемые выигрыши от своих действий, предпринятых на основании убежденности в отношении р-комбинации Гарри. Если Салли выберет Starbucks, это даст ей 1 ? p + 0 ? (1 — p) = p, если Local Latte, это даст 0 ? p + 2 ? (1 — p) = 2 ? (1 — p). Когда p имеет высокое значение, p > 2(1 — p), то есть Салли достаточно уверена в том, что Гарри отправится в Starbucks, ей лучше пойти туда же. Точно так же, когда p имеет низкое значение, p < 2(1 — p), а значит, Салли достаточно уверена в том, что Гарри отправится в Local Latte, ей тоже нужно пойти в это кафе. При p = 2(1 — p), или 3p = 2, или p = 2/3 эти два варианта выбора обеспечивают Салли один и тот же выигрыш. Следовательно, если она убеждена в том, что p = 2/3, она может быть не уверена в собственном выборе и колебаться между этими двумя вариантами.

Понимание этого факта может вызвать у Гарри неуверенность в выборе Салли. Следовательно, Гарри также испытывает субъективную стратегическую неопределенность. Предположим, он считает, что Салли выберет Starbucks с вероятностью q, а Local Latte с вероятностью (1 — q). Аналогичные рассуждения показывают, что Гарри следует выбрать Starbucks, если q > 2/3, и Local Latte, если q < 2/3. В случае если q = 2/3, ему будет безразлично, какое из этих двух действий предпринять, и у него возникнет неуверенность в собственном выборе.

Теперь у нас есть основа для равновесия в смешанных стратегиях с p = 2/3 и q = 2/3. При таком равновесии данные значения p и q одновременно являются и фактическими вероятностями чистых стратегий, входящих в соответствующую смешанную стратегию, и субъективными убеждениями каждого игрока относительно вероятностей чистых стратегий в смешанной стратегии другого игрока. Правильность этих убеждений поддерживает собственное безразличие каждого игрока в отношении выбора между двумя чистыми стратегиями, а значит, и готовность каждого смешать их. Это полностью соответствует концепции равновесия Нэша как системы самоисполняющихся убеждений и ответных действий, описанной в разделе 3.

Ключ к поиску равновесия в смешанных стратегиях состоит в том, что Салли готова смешать две чистые стратегии только тогда, когда ее субъективная неопределенность в отношении выбора Гарри правильна, то есть если правильно значение р в р-комбинации Гарри. Алгебраически это утверждение можно обосновать посредством вычисления равновесного значения р с помощью уравнения р = 2(1 — р), которое гарантирует, что Салли получит такой же ожидаемый выигрыш от двух своих чистых стратегий при сопоставлении каждой из них с р-комбинацией Гарри. Если данное равенство справедливо в случае равновесия, вероятности чистых стратегий в смешанной стратегии Гарри как будто поддерживают безразличие Салли. Мы особо подчеркиваем сочетание «как будто», поскольку в этой игре у Гарри нет причин поддерживать безразличие Салли, поэтому полученный результат — просто свойство данного равновесия. Тем не менее общая идея такова: в равновесии Нэша в смешанных стратегиях вероятности чистых стратегий, входящих в смешанную стратегию каждого игрока, поддерживают безразличие другого игрока в отношении выбора между его чистыми стратегиями. Мы вывели свойство безразличия соперника выше в ходе обсуждения игр с нулевой суммой, а теперь видим, что оно актуально и для игр с ненулевой суммой.

Однако в игре в доверие равновесие в смешанных стратегиях имеет ряд весьма нежелательных свойств. Во-первых, оно обеспечивает обоим игрокам достаточно низкие ожидаемые выигрыши. Формулы расчета ожидаемых выигрышей Салли от двух ее действий, р и 2 (1 — р), в обоих случаях равны 2/3 при р = 2/3. Точно так же ожидаемые выигрыши Гарри в случае равновесной q-комбинации Салли при q = 2/3 также одинаковы и составляют 2/3. Следовательно, при равновесии в смешанных стратегиях каждый игрок получает выигрыш 2/3. В главе 4 мы нашли в этой игре два равновесия в чистых стратегиях, причем даже худшее из них (оба выбирают Starbucks) обеспечивает каждому игроку выигрыш 1, а лучшее (оба выбирают Local Latte) — выигрыш 2.

Причина, по которой в случае равновесия в смешанных стратегиях два игрока получают такие плохие результаты, состоит в следующем: при выборе игроками своих действий независимо и бессистемно достаточно высока вероятность того, что они отправятся в разные места и в результате не встретятся и оба получат выигрыш 0. Гарри и Салли не увидятся, если один из них пойдет в Starbucks, а другой в Local Latte или наоборот. Вероятность такого развития событий при использовании обоими равновесных комбинаций составляет 2 ? (2/3) ? (1/3) = 4/9[93]. Аналогичная проблема наблюдается в равновесиях в смешанных стратегиях в большинстве игр с ненулевой суммой.

Второе нежелательное свойство равновесия в смешанных стратегиях — его неустойчивость. Если любой из игроков хотя бы немного отклонится от точных значений р = 2/3 или q = 2/3, наилучшим выбором другого игрока станет одна из чистых стратегий. И как только он ее применит, другой игрок получит более высокий выигрыш при выборе той же чистой стратегии, а значит, в игре наступит одно из двух равновесий в чистых стратегиях. Такая неустойчивость равновесий в смешанных стратегиях присуща многим играм с ненулевой суммой. Тем не менее в некоторых играх с ненулевой суммой все же есть более устойчивые равновесия в смешанных стратегиях. Один из примеров, описанный ниже в данной главе и в главе 12, — это равновесие в смешанных стратегиях в игре в труса, в отношении которой существует интересная эволюционная интерпретация.

С учетом результатов анализа равновесия в смешанных стратегиях в версии игры во встречу, основанной на игре в доверие, вы, по всей вероятности, теперь можете оценить равновесия в смешанных стратегиях в других вариантах игры во встречу с ненулевой суммой. В ее версии, построенной на чистой координации (см. рис. 4.10), выигрыш от встречи в двух кафе один и тот же, а значит, в равновесии в смешанных стратегиях значения p и q будут такими: p = 1/2 и q = 1/2. В варианте этой игры, представляющем собой битву полов (см. рис. 4.12), Салли предпочитает встретиться с Гарри в Local Latte, поскольку так она получит выигрыш 2 вместо 1 в случае встречи в Starbucks. Решение Салли зависит от того, больше или меньше 2/3 ее субъективная вероятность, что Гарри отправится в Starbucks. (В этом случае выигрыши Салли аналогичны выигрышам в версии игры в доверие, поэтому критическое значение p не меняется.) Гарри предпочитает встретиться в Starbucks, поэтому его решение зависит от того, больше или меньше 1/3 его субъективная вероятность, что Салли пойдет в Starbucks. Таким образом, при равновесии Нэша в смешанных стратегиях p = 2/3, а q = 1/3.

В игре в труса с ненулевой суммой также существует равновесие в смешанных стратегиях, которое можно найти с помощью описанных выше методов, хотя у этой игры несколько иная интерпретация. Если вы помните, ее участники — Джеймс и Дин, пытающиеся избежать встречи. Таблица игры, первоначально представленная на рис. 4.13, воспроизведена здесь на рис. 7.4.

Рис. 7.4. Игра в труса

Если применить в этой игре смешанные стратегии, то в p-комбинации Джеймса вероятность того, что он свернет в сторону, будет равна p, а вероятность того, что он поедет прямо, составит 1 — p. При такой p-комбинации Дин получит выигрыш 0 ? p — 1 ? (1 — p) = p — 1, выбрав вариант «свернуть», и 1 ? p — 2 ? (1 — p) = 3p — 2, предпочтя вариант «ехать прямо». При сравнении этих уравнений видно, что Дин получит более высокий выигрыш при выборе «свернуть», когда p — 1 > 3p — 2, или когда 2p < 1, или когда p < 1/2 — иными словами, когда p имеет малое значение и Джеймс с большей вероятностью выберет «ехать прямо». Напротив, когда у p высокое значение и Джеймс с большей вероятностью выберет «свернуть», Дину лучше «ехать прямо». Если в p-комбинации Джеймса значение p в точности равно 1/2, то Дину безразлично, какую из двух чистых стратегий применить; следовательно, он в равной мере готов их смешивать. Аналогичный анализ игры с точки зрения Джеймса в плане оценки его вариантов в игре против q-комбинации Дина дает те же результаты. Таким образом, p = 1/2 и q = 1/2 и есть равновесие в смешанных стратегиях в этой игре.

В свойствах этого равновесия присутствуют общие черты и различия с равновесиями в смешанных стратегиях в игре «встреча». Здесь ожидаемый выигрыш каждого игрока достаточно низкий: (?1/2). Это плохо, как и в случае игры во встречу, но в отличие от нее выигрыш при равновесии в смешанных стратегиях не хуже для обоих игроков, чем выигрыш при двух равновесиях в чистых стратегиях. В действительности, поскольку в данной игре интересы игроков в какой-то степени противоположны, каждый непременно получит более высокий выигрыш от равновесия в смешанных стратегиях, чем от равновесия в чистых стратегиях, подразумевающего выбор варианта «свернуть».

Однако такое равновесие в смешанных стратегиях тоже неустойчиво. Если Джеймс повысит вероятность применения варианта «ехать прямо» до значения чуть больше 1/2, это приведет к выбору Дином чистой стратегии «свернуть». В результате сочетание стратегий «ехать прямо» / «свернуть» становится равновесием в чистых стратегиях. Если Джеймс, наоборот, снизит вероятность выбора варианта «ехать прямо» до значения чуть меньше 1/2, Дин выберет вариант «ехать прямо» и игра снова перейдет к другому равновесию в чистых стратегиях[94].

В данном разделе мы нашли равновесия в смешанных стратегиях в нескольких играх с ненулевой суммой путем решения уравнений, вытекающих из свойства безразличия соперника. Из главы 4 мы уже знаем, что в таких играх есть и равновесия в чистых стратегиях. Кривые наилучших ответов позволяют составить исчерпывающую картину, отобразив все равновесия Нэша одновременно. Поскольку вы уже ознакомились с ними в двух отдельных фрагментах книги, мы не будем тратить время и место на построение графиков, а просто подчеркнем, что при наличии двух равновесий в чистых стратегиях и одного в смешанных стратегиях (как в приведенных выше примерах) кривые наилучших ответов пересекаются в трех разных местах, по одному на каждое равновесие Нэша. В конце этой главы мы предложим вам самостоятельно построить графики наилучших ответов для аналогичных игр.