Почему круг – особая фигура?

В одной старой математической загадке говорится о том, что у фермера Жиля была коза и 120 м ограды. Фермер хочет огородить для своей козы участок, на котором было бы как можно больше травы.

Сначала он пробует огородить территорию в форме равностороннего треугольника со сторонами по 40 м (тогда периметр составит как раз 120 м).

Площадь такого треугольника чуть меньше 700 м2 (основание треугольника равно 40 м, а высота оказывается примерно равной 35 м).

Можно ли сделать лучше? Фермер разворачивает свои 120 м ограды в квадрат 30 ? 30 м.

Теперь площадь равна 30 ? 30 = 900 м2. Получается, что если у вас имеется ограда определенной длины, то площадь квадратного поля, окруженного этой оградой, окажется больше, чем площадь поля треугольного.

Далее фермер пробует правильный шестиугольник, каждая сторона которого равна 20 м.

Теперь площадь поля составляет приблизительно 1039 м2 (один из способов вычислить эту площадь состоит в том, чтобы найти площадь одного сегмента шестиугольника, представляющего собой равносторонний треугольник, и умножить на 6).

Таким образом, при заданной длине ограды площадь, судя по всему, получается тем больше, чем больше сторон у вашего поля.

Пройдите в этом направлении дальше и рассмотрите поля в форме декагона (10 сторон) и икосагона (20 сторон); по мере увеличения числа сторон форма поля Жиля начинает напоминать круг. На самом деле круг – многоугольник с бесконечным числом сторон, и если фермер использует свои 120 м ограды для создания круглого поля, он сможет огородить почти 1150 м2 пастбища – намного больше, чем было в первоначальном треугольнике, и, мало того, максимально возможная площадь, которую Жиль может огородить. Это лишь одно из многих важных свойств круга, которыми объясняется его особая роль в геометрии.

Кстати говоря, на идее получать ответ, выбирая все более мелкие шаги и переходя в конце концов к шагам бесконечно малым, построена одна из важнейших областей высшей математики, известная как дифференциальное исчисление. Наши представления о высшей математике чуть ли не всем обязаны дифференциальному и интегральному исчислению, и мы должны благодарить Исаака Ньютона (и других) за идеи о математике бесконечно малых величин. Что подводит нас к еще одной, заключительной теме нашей книги…