Путаница с вычислениями в столбик

Маленькие дети, которые только начинают осваивать математические записи, не видят необходимости ставить символы в строго определенном порядке. Для них 3 + 4, 4 + 3 или даже 3 4 + или + 3 4 означает ровно одно и то же: сложить 3 и 4. Аналогично они не видят разницы между вариантами 7 – 3 и 3 – 7: то и другое означает попросту вычесть 3 из 7 (ведь если мы говорим «вычесть 3 из 7», то разумно записать сначала 3, а уж потом 7). Затем появляется взрослый, который очень хочет помочь (назовем этого человека мисс Строгость), и говорит: «Невозможно вычесть большее число из меньшего, поэтому не пиши 3 – 7, пиши 7 – 3». В принципе она не права, вычесть большее число из меньшего можно – мы не сомневаемся, что такое иногда случается с вашим банковским счетом. Математики придумали отрицательные числа именно для того, чтобы можно было получить ответ для выражения вроде 3–7. Просто ребенок пока не умеет этого делать.

Через какое-то время еще один доброжелательный взрослый (назовем его мистер Безупречность) показывает ребенку, как выполнять вычитание столбиком:

«Начинай с единиц, – наставляет малыша мистер Безупречность. – Из восьми вычесть пять будет три, из шести вычесть четыре будет два, из четырех вычесть два получится два». (На самом деле мы при этом вычитаем 40 из 60 и 200 из 400, но это уже другая история.)

Еще позже ребенок сталкивается, скажем, с таким примером:

– и голоса Строгости и Безупречности начинают спорить у него в голове:

Безупречность: «Начинай с единиц».

Ребенок: «Из двух вычесть девять».

Строгость: «Невозможно вычесть большее число из меньшего».

Ребенок: «Если мне нельзя из двух вычесть девять, то можно от девяти отнять два, это будет семь».

Таким образом, следуя полученным советам, ребенок начинает писать такие вещи, как:

Маленького ребенка правила могут только запутать, вот почему в настоящее время их придерживают до тех пор, пока ребенок не научится по-настоящему понимать, что делает. Тесты показывают, что ученики, с одной стороны, ошибаются, производя вычисления «старым» методом, а с другой – находят совершенно правильные решения, если пользуются собственными приемами.

В голове ребенка

Как они умудрились получить эти неверные ответы?

Взгляните на эти примеры на вычитание, решенные детьми. Хотя выполнены они неверно, в обоих случаях есть разумные причины, по которым дети ошиблись. Сможете определить, как могли в этих ситуациях рассуждать дети?

А. Ребенок, вероятно, сказал себе: «Из трех отнять семь не получится, значит, нужно из семи отнять три, будет четыре» и т. д.

Б. Здесь разобраться сложнее. Ребенок понял, что, чтобы вычесть семь из одного в правом столбце, нужно «занять» десять, но поскольку в колонке десятков числа 201 стоит нуль, он перешел левее и занял из двух в колонке сотен. (Еще одно объяснение: ребенок решал много задач на вычитание двузначных чисел и считал – неверно, но здраво, – что «занимать» нужно всегда из крайней левой цифры.)

У детей, делающих такие ошибки, отсутствует внятное числовое чутье. Они слабо понимают, что происходит, когда они используют старый метод – вычеркивают и «занимают». Числовая прямая и метод разбиения, которые мы рассматривали в предыдущей главе, для них намного понятнее.

(Нам рассказывали чудную историю о мальчике, который довел «занимание» до абсурда. Выполняя пример 543 – 287, он понял, что, чтобы вычесть семь из трех, нужно где-то что-то занять, но вместо того, чтобы занять один из соседнего столбца, он решил занять четыре из даты, написанной цифрами на самом верху страницы! Кончилось тем, что ответ получился верный – если, конечно, учитель готов был согласиться с тем, что дата загадочным образом уменьшилась на четыре.)