ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Логарифмическая функция по основанию a  (a > 0, a ≠ 1) обозначается y = log_ax и определяется как функция, обратная показательной функции y = a^x с тем же самым основанием. Так как логарифмическая и показательная функции взаимно-обратны, то график логарифмической функции (он иногда называется «логарифмикой») получается из графика показательной функции симметрией относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 1). Логарифмическая функция определена для положительных x и при основании a, большем единицы, является монотонно возрастающей функцией. Из свойств логарифмов (1) и (2) (см. Логарифм) легко устанавливается, что

log_1/a x = -log_a x,

откуда следует, что графики функций y = log_1/ax и y = log_ax симметричны друг другу относительно оси Ox. Свойства логарифмической функции хорошо иллюстрирует рис. 2. Заметим, что ординаты любых двух кривых на рис. 2 пропорциональны, это непосредственно следует из формулы

Рис. 1

Рис. 2

В математическом анализе особое значение имеет логарифмическая функция по основанию e, она называется натуральным логарифмом и обозначается y = ln x. Производная от этой функции имеет весьма простой вид, а именно (ln x)' = 1/x. На рис. 3 сопоставлены графики y = lg x и y = ln x.

Рис. 3