ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ

Формы круга, окружности мы встречаем повсюду: это и колесо машины, и линия горизонта, и диск Луны. Математики стали заниматься геометрической фигурой - кругом на плоскости - очень давно.

Кругом с центром O и радиусом R называется множество точек плоскости, удаленных от O на расстояние, не большее R. Круг ограничен окружностью, состоящей из точек, удаленных от центра O в точности на расстояние R. Отрезки, соединяющие центр с точками окружности, имеют длину R и также называются радиусами (круга, окружности). Части круга, на которые он делится двумя радиусами, называются круговыми секторами (рис. 1). Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности, - делит круг на два сегмента, а окружность – на две дуги (рис. 2). Перпендикуляр, проведенный из центра к хорде, делит ее и стягиваемые ею дуги пополам. Хорда тем длиннее, чем ближе она расположена к центру; самые длинные хорды - хорды, проходящие через центр, - называются диаметрами (круга, окружности).

Рис. 1

Рис. 2

Если прямая удалена от центра круга на расстояние d, то при d>R она не пересекается с кругом, при d < R пересекается с кругом по хорде и называется секущей, при d = R имеет с кругом и окружностью единственную общую точку и называется касательной. Касательная характеризуется тем, что она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. К кругу из точки, лежащей вне его, можно провести две касательные, причем их отрезки от данной точки до точек касания равны.

Дуги окружности, как и углы, можно измерять в градусах и его долях. За градус принимают 1/360 часть всей окружности. Центральный угол AOB (рис. 3) измеряется тем же числом градусов, что и дуга AB, на которую он опирается; вписанный угол ACB измеряется половиной дуги AB. Если вершина P угла APB лежит внутри круга, то этот угол в градусной мере равен полусумме дуг AB и A'B' (рис. 4,а). Угол с вершиной P вне круга (рис. 4,б), высекающий на окружности дуги AB и A'B', измеряется полуразностью дуг A'B' и AB. Наконец, угол между касательной и хордой равен половине заключенной между ними дуги окружности (рис. 4,в).

Рис. 3

Рис. 4

Круг и окружность имеют бесконечное множество осей симметрии.

Из теорем об измерении углов и подобия треугольников следуют две теоремы о пропорциональных отрезках в круге. Теорема о хордах говорит, что если точка M лежит внутри круга, то произведение длин отрезков AM·BM проходящих через нее хорд постоянно. На рис. 5,a AM·BM=A'M·B'M. Теорема о секущей и касательной (имеются в виду длины отрезков частей этих прямых) утверждает, что если точка M лежит вне круга, то произведение секущей MA на ее внешнюю часть MB тоже неизменно и равно квадрату касательной MC (рис. 5,б).

Рис. 5

Еще в древности пытались решить задачи, связанные с кругом, - измерить длину окружности или ее дуги, площадь круга или сектора, сегмента. Первая из них имеет чисто «практическое» решение: можно уложить вдоль окружности нить, а потом развернуть ее и приложить к линейке или же отметить на окружности точку и «прокатить» ее вдоль линейки (можно, наоборот, «обкатить» линейкой окружность). Так или иначе измерения показывали, что отношение длины окружности L к ее диаметру d=2R одно и то же для всех окружностей. Это отношение принято обозначать греческой буквой π («пи» - начальная буква греческого слова perimetron, которое и означает «окружность»).

Однако древнегреческих математиков такой эмпирический, опытный подход к определению длины окружности не удовлетворял: окружность - это линия, т.е., по Евклиду, «длина без ширины», а таких нитей не бывает. Если же мы катим окружность по линейке, то возникает вопрос: почему при этом мы получим длину окружности, а не какую-нибудь другую величину? К тому же такой подход не позволял определить площадь круга.

Выход был найден такой: если рассмотреть вписанные в круг K правильные n-угольники M_n, то при n, стремящемся к бесконечности, M_n в пределе стремятся к K. Поэтому естественно ввести следующие, уже строгие, определения: длина окружности L - это предел последовательности периметров P_n правильных вписанных в окружность n-угольников, а площадь круга S - предел последовательности S_n их площадей. Такой подход принят и в современной математике, причем по отношению не только к окружности и кругу, но и к другим кривым или ограниченным криволинейными контурами областям: вместо правильных многоугольников рассматривают последовательности ломаных с вершинами на кривых или контурах областей, а предел берется при стремлении длины наибольшего звена ломаной к нулю.

Аналогичным образом определяется длина дуги окружности: дуга делится на n равных частей, точки деления соединяются ломаной и длина дуги l полагается равной пределу периметров l_n таких ломаных при n, стремящемся к бесконечности. (Подобно древним грекам, мы не уточняем само понятие предела - оно относится уже не к геометрии и было вполне строго введено лишь в XIX в.)

Из самого определения числа π следует формула для длины окружности:

L=πd=2πR.

Для длины дуги можно записать аналогичную формулу: поскольку для двух дуг Г и Г' с общим центральным углом из соображений подобия вытекает пропорция l_n:l'_n=R:R', а из нее - пропорция l_n:R=l'_n:R', после перехода к пределу мы получаем независимость (от радиуса дуги) отношения l/R=l'/R'=α. Это отношение определяется только центральным углом AOB и называется радианной мерой этого угла и всех отвечающих ему дуг с центром в O. Тем самым получается формула для длины дуги:

l=αR,

где α - радианная мера дуги.

Записанные формулы для L и l - это всего лишь переписанные определения или обозначения, но с их помощью получаются уже далекие от просто обозначений формулы для площадей круга и сектора:

S=πR², S=1/2 αR².

Для вывода первой формулы достаточно перейти к пределу в формуле для площади вписанного в круг правильного n-угольника:

S_n=1/2 P_nh_n.

По определению левая часть стремится к площади круга S, а правая - к числу

1/2 LR = 1/2 ·2πR·R = πR²

(апофема h_n, конечно, стремится к R). Совершенно аналогично выводится и формула для площади сектора s:

s = limS_n = lim(1/2 l_nh_n) = 1/2 lim l_n·lim h_n = 1/2 lR = 1/2 αR²

(lim - читается «предел»). Тем самым решена и задача определения площади сегмента с хордой AB, ибо она представляется как разность или сумма (рис. 1, 2) площадей соответствующих сектора и треугольника AOB.

ОКРУЖНОСТЬ ДЕВЯТИ ТОЧЕК

У каждого треугольника имеется, и притом единственная, окружность девяти точек. Это - окружность, проходящая через следующие три тройки точек, положение которых определено для треугольника (рис. 1): основания его высот D₁,D₂ и D₃, основания его медиан D₄,D₅ и D₆, середины D₇,D₈ и D₉ отрезков прямых от точки пересечения его высот H до его вершин.

Рис. 1

Эта окружность, найденная в XVIII в. великим ученым Л. Эйлером (поэтому ее часто также называют окружностью Эйлера), была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали этого учителя Карл Фейербах (он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха). Дополнительно К. Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого данного треугольника. Это - точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида (рис. 2). Одна из этих окружностей вписанная, остальные три - вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек D₁₀,D₁₁,D₁₂ и D₁₃ называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек.

Рис. 2

Окружность эту очень легко построить, если знать два ее свойства. Во-первых, центр окружности девяти точек лежит в середине отрезка, соединяющего центр описанной около треугольника окружности с точкой H - его ортоцентром (точка пересечения его высот). Во-вторых, ее радиус для данного треугольника равен половине радиуса описанной около него окружности.