СФЕРА И ШАР

Точки пространства, удаленные от данной точки O на данное расстояние R, образуют сферу с центром O и радиусом R. Сфера ограничивает шар, состоящий из точек, удаленных от O на расстояние, не большее R. Эти геометрические объекты, так же как окружность и круг, рассматривали еще в глубокой древности. Открытие шарообразности Земли, появление представлений о небесной сфере дали толчок к развитию специальной науки - сферики, изучающей расположенные на сфере фигуры (см. Сферическая геометрия). Рассмотрим основные вопросы классической стереометрии: взаимное расположение шара (сферы) и других пространственных фигур, измерение объема шара и его частей, а также площади сферы и ее частей.

Прежде всего, плоскость α, проведенная на расстоянии d < R от центра O шара радиуса R, в пересечении с шаром дает круг радиуса

с центром в точке H - основании перпендикуляра, проведенного из O к α (рис. 1). Если плоскость α отстоит от центра O на расстояние d = R, то α имеет с шаром (и сферой) единственную общую точку T. Такие плоскости называются касательными к шару (сфере); они характеризуются тем, что перпендикулярны радиусу OT, проведенному в точку касания.

Рис. 1

Круговое сечение шара делит его на два шаровых сегмента, а сферу - на две сегментные поверхности. Часть шара, ограниченная двумя параллельными круговыми сечениями и лежащим между ними сферическим поясом (или зоной), называется шаровой зоной (рис. 2). Радиусы, проведенные от центра шара к точкам сферы, принадлежащим одной сегментной поверхности или сферическому поясу, образуют шаровой сектор - он может быть ограничен сферическим сегментом или зоной и одной или двумя коническими поверхностями (рис. 3). Высота шаровой или сферической зоны - это расстояние между плоскостями сечений; высота шарового сегмента или сегментной поверхности определяется как расстояние от плоскости сечения до параллельной ей плоскости, касательной к этому сегменту (рис. 2). Высоту шарового сектора определяют как высоту соответствующей сегментной поверхности или сферического пояса (рис. 3).

Рис. 2

Рис. 3

Еще в Древней Греции умели вычислять объемы шаровых секторов и площади сферических зон или сегментов по формулам:

V_c = 2/3 πR²H, S₃ = 2πRH,

где π, как обычно, - отношение длины окружности к ее диаметру. Рассматривая шар и сферу как частные случаи шарового сектора и сферической зоны - с высотами H = 2R, - мы получаем формулы для объема шара и площади сферы:

V_ш = 4/3 πR³, S_сф = 4πR².

Архимед интерпретировал эти формулы так: объем и поверхность шара составляют 2/3 от объема и полной поверхности описанного около шара цилиндра (рис. 4; по желанию Архимеда такой чертеж был изображен на его гробнице).

Рис. 4