НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим две функции, графики которых изображены на рис. 1 и 2. График первой функции можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги. Эту функцию можно назвать непрерывной. График другой функции так нарисовать нельзя. Он состоит из двух непрерывных кусков, а в точке x₀ имеет разрыв, и функцию мы назовем разрывной.

Рис. 1

Рис. 2

Такое наглядное определение непрерывности никак не может устроить математику, поскольку содержит совершенно нематематические понятия «карандаш» и «бумага». Точное математическое определение непрерывности дается на основе понятия предела и состоит в следующем.

Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a,b] и x₀ - некоторая точка этого отрезка. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если при стремлении x к x₀ (x рассматривается только из отрезка [a,b]) значения функции стремятся к f(x₀), т.е. если

. (1)

Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в каждой его точке.

Если в точке x₀ равенство (1) не выполняется, функция называется разрывной в точке x₀.

Как видим, математически свойство непрерывности функции на отрезке определяется через местное (локальное) свойство непрерывности в точке.

Величина Δx=x-x₀ называется приращением аргумента, разность значений функции f(x)=f(x₀) называется приращением функции и обозначается Δy. Очевидно, что при стремлении x к x₀ приращение аргумента стремится к нулю: Δx → 0.

Перепишем равенство (1) в равносильном виде

Используя введенные обозначения, его можно переписать так:

Итак, если функция непрерывна, то при стремлении приращения аргумента к нулю приращение функции стремится к нулю. Говорят и иначе: малому приращению аргумента соответствует малое приращение функции. На рис. 3 приведен график непрерывной в точке x₀ функции, приращению Δx соответствует приращение функции Δy. На рис. 4 приращению Δx соответствует такое приращение функции Δy, которое, как бы мало Δx ни было, не будет меньше половины длины отрезка AB; функция разрывна в точке x₀.

Рис. 3

Рис. 4

Наше представление о непрерывной функции как о функции, график которой можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги, прекрасно подтверждается свойствами непрерывных функций, которые доказываются в математическом анализе. Отметим, например, такие их свойства.

1. Если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, то в некоторой точке этого отрезка она принимает значение, равное нулю.

2. Функция f(x), непрерывная на отрезке [a,b], принимает все промежуточные значения между значениями в концевых точках, т.е. между f(a) и f(b).

3. Если функция непрерывна на отрезке, то на этом отрезке она достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения, т.е. если m - наименьшее, а M - наибольшее значения функции на отрезке [a,b], то найдутся на этом отрезке такие точки x₁ и x₂, что f(x₁)=m и f(x₂)=M.

Геометрический смысл первого из этих утверждений совершенно ясен: если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси Ox на другую, то она пересекает эту ось (рис. 5). Разрывная функция этим свойством не обладает, что подтверждается графиком функции на рис. 2, а также свойствами 2 и 3. На рис. 2 функция не принимает значения y₁, хотя оно заключено между f(a) и f(b). На рис. 6 приведен пример разрывной функции y={x} (дробная часть числа x), которая не достигает своего наибольшего значения.

Рис. 5

Рис. 6

Примером непрерывной функции может служить любая из элементарных функций. Каждая элементарная функция непрерывна на любом отрезке, на котором она определена. Например, функции y=x² и y=2^x непрерывны на любом отрезке [a,b], функция

непрерывна на отрезке [0,b], функция y=x/(2-x) непрерывна на любом отрезке, не содержащем точку x=2.

Сложение, вычитание, умножение непрерывных на одном и том же отрезке функций вновь приводят к непрерывным функциям. При делении двух непрерывных функций получится непрерывная функция, если знаменатель всюду отличен от нуля.

К понятию непрерывной функции математика пришла, изучая в первую очередь различные законы движения. Пространство и время непрерывны, и зависимость, например, пути s от времени t, выраженная законом s=f(t), дает пример непрерывной функции f(t).

С помощью непрерывных функций описывают состояния и процессы в твердых телах, жидкостях и газах. Изучающие их науки - теория упругости, гидродинамика и аэродинамика - объединяются одним названием - «механика сплошной среды».