КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Так называют числа вида a + bi, где a и b - действительные числа, а i - число особого рода, квадрат которого равен -1, т.е. i² = -1. Действия над комплексными числами выполняются по таким же правилам, что и над многочленами, при этом i² заменяют на -1. Например:

(2+3i) + (4-8i) = 6-5i;

(2 + 3i)(4 - 8i) = 8 - 16i + 12i - 24i² = 32 - 4i;

;

i³ = i²·i = -i;

i⁴ = i² - i² = (-1)·(-1) = 1.

Равенство a + bi = c + di означает, что a = c и b = d.

Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа, но в практических расчетах за два тысячелетия до н.э. в Древнем Египте и Древнем Вавилоне уже применялись дроби. Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за два века до н.э. Отрицательные числа применял в III в. н.э. древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действий над ними, а в VII в. н.э. эти числа подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII в. н.э. было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа x, чтобы x² = -9.

В XVI в. в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений (см. Алгебраическое уравнение) содержатся кубические и квадратные корни. Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один действительный корень (например, для уравнения x³ + 3x - 4 = 0), а если оно имело три действительных корня (например, x³ - 7x + 6 = 0), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим трем корням уравнения ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

«Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и снова появляются на выкладках, и лишь постепенно, по мере того как обнаруживается польза от их употребления, они получают все более и более широкое распространение». Ф. Клейн

Чтобы объяснить получившийся парадокс, итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений x + y = 10, xy = 40, не имеющая решений в множестве действительных чисел, имеет решения вида

, нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что

. Кардано называл такие величины «чисто отрицательными» и даже «софистически отрицательными», считал их бесполезными и стремился не применять их. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение этой величины. Но уже в 1572 г. вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 г. французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 г. один из крупнейших математиков XVIII в. – Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа

(«мнимой» единицы); этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу (1831).

В течение XVII в. продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование.

Постепенно развивалась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII и XVIII вв. была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707)

(cos φ + i sin φ)ⁿ = cos nφ + i sin nφ.

С помощью этой формулы можно также вывести равенства для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 г. замечательную формулу

e^ix = cos x + i sin x,

которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрическими. С помощью формулы Эйлера можно возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что e^iπ = -1. Можно находить синусы и косинусы от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, т.е. строить теорию функций комплексного переменного.

«Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств». П. Карно

В конце XVIII в. французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью комплексных чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще ранее швейцарский математик Я. Бернулли применил комплексные числа для вычисления интегралов.

Хотя в течение XVIII в. с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т.д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, получаемые с помощью мнимых чисел, - только наведения, приобретающие характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.