УГОЛ

Угол - самая простая геометрическая фигура после точки, прямой, луча и отрезка. Если в плоскости из точки O провести два различных луча OA и OB, то они разобьют плоскость на две части, каждая из которых называется углом с вершиной O и сторонами OA и OB. Угол I на рис. 1 выпуклый (см. Выпуклые фигуры), угол II невыпуклый. Если лучи OA и OB дополняют друг друга до прямой, то оба получающиеся угла выпуклые и называются развернутыми. Как геометрические фигуры они совпадают с полуплоскостями, на которые плоскость разбивается прямой AB (рис. 2). Если в одном из развернутых углов AOB провести луч OC, то он разделит угол AOB на два выпуклых угла AOC и COB, которые называются смежными (рис. 2). Две пересекающиеся в точке O прямые AB и CD разбивают плоскость на две пары выпуклых так называемых вертикальных между собой углов: AOC и BOD, AOD и BOC (рис. 3). Вертикальные углы, например AOC и BOD, равны между собой: один из них можно совместить с другим поворотом около точки O.

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Луч, делящий угол пополам и имеющий начало в вершине угла, называется его биссектрисой. Биссектриса развернутого угла делит его на два равных смежных угла, называемых прямыми углами. Биссектрису угла легко построить с помощью циркуля и линейки, даже не меняя раствор циркуля (рис. 4). Для развернутого угла просто построить и трисектрисы, или, как говорят, выполнить его трисекцию, т.е. разделить угол на три равные части. Еще в V в. до н.э. была сформулирована задача о трисекции произвольного угла (см. Классические задачи древности), но лишь в XIX в. математики доказали, что разрешить эту задачу с помощью только циркуля и линейки в общем случае нельзя.

Рис. 4

Конечно, это не означает, что трисектрисы не существуют. На рис. 5 показано, как выполняется трисекция угла AOB с помощью циркуля и линейки с двумя отмеченными на ней точками P и Q: сначала строится окружность S радиуса PQ, а потом линейка помещается так, чтобы ее край проходил через точку B, точка Q лежала на S, а точка P - на дополнительном к OA луче OA' (простой подсчет углов равнобедренных треугольников OPQ и BOQ дает, что угол APB втрое меньше угла AOB).

Рис. 5

Большое значение для теории и практики имеет определение величины или меры угла. Основное свойство меры угла должно заключаться в том, чтобы равные углы имели одинаковую меру. Общеприняты два измерения углов: (1) градусное, при котором углы измеряются в градусах (по определению угол в 1° - это 1/180 часть развернутого угла) и его долях (1/60 градуса - угловая минута, 1'; 1/60 минуты - угловая секунда, 1"), и (2) радианное, при котором радианная мера угла AOB определяется как отношение длины дуги, высекаемой этим углом на произвольной окружности с центром O, к радиусу окружности. Развернутый угол равен 180°, или πr/r = π радианам, откуда получаются формулы, связывающие градусную и радианную меры угла:

(α/π ·180)°, A°=A/180 ·π рад.

В частности,

1°=π/180=0,017453...

(В последнем случае мы не записали размерность «рад»; так часто поступают, основываясь на том, что по своему определению радианная мера безразмерна.) Радианная мера применяется в математическом анализе (например, при определении числовых значений тригонометрических функций), в механике (при рассмотрении вращения около точки или оси и других процессов, описываемых с помощью тригонометрических функций, - колебаний, волн и т.д.). Градусная мера используется в элементарной геометрии (каждый, видимо, хорошо знаком с транспортиром - измерителем углов на чертежах), в геодезии при измерениях на местности (для измерения углов на местности используют весьма точный прибор - теодолит). Иногда углы измеряют в долях прямого угла, обозначаемого буквой d; в морской навигации традиционно используют в качестве основной единицы румб, равный 1/16 развернутого угла. Для краткости вместо слов «величина (мера) угла» часто говорят просто «угол». Так, в известной теореме: сумма углов треугольника равна 180° (или π, или 2d) - под углами понимаются как раз величины углов.

Углы, меньшие прямого, называются острыми, а углы, большие прямого, но меньшие развернутого, - тупыми. Мера выпуклого угла заключена между 0° и 180° (или 0 и π), невыпуклого - между 180° и 360° (или между π и 2π). Удобно ввести в рассмотрение полный угол - угол, образуемый лучом OA при полном обороте около точки O, а также нулевой угол - угол, образованный двумя совпадающими лучами. Эти углы имеют меру - соответственно 360°= 2π рад и 0°= 0 рад. Иногда градус определяют как 1/360 часть полного угла.

В планиметрии рассматривают еще один тип углов - углы поворотов. Во-первых, они имеют знак: плюс, если поворот осуществляется против хода часовой стрелки, и минус, если поворот - по ходу часовой стрелки. Поворот около точки O на угол α обозначается

. Если углы поворотов α, β и их сумма α + β заключены в пределах от -360° до 360°, то при последовательном выполнении (композиции) поворотов их углы складываются (рис. 6):

Рис. 6

Чтобы сохранить эту удобную формулу при произвольных α и β, и чтобы можно было рассматривать механический процесс вращения, при котором в угол поворота целесообразно включить и проделанные полные обороты (на 360°), пришлось ввести углы поворотов произвольной величины (как больших 360°, так и меньших -360°). Тогда, например, при вращении точки P около точки O с постоянной угловой скоростью ω (рад/с) положение P в момент времени t дается формулой

P_t = R_O^ωt(P) (рис. 7).

Рис. 7

Так введенные углы поворотов позволяют определить тригонометрические функции числового аргумента: в координатах Oxy для произвольного числа t полагают, что (cos t, sin t) - координаты точки P_t = R^t_O(P_O), где P_O - точка с координатами (1,0), а угол поворота t берется в радианах.

В стереометрии рассматриваются двугранные углы - части пространства, на которые оно разбивается двумя полуплоскостями (гранями угла), ограниченными общей прямой (ребром угла, рис. 8), и многогранные (n-гранные, где n≥3) углы - части пространства, ограниченные несколькими последовательно прилегающими друг к другу плоскими углами с общей вершиной. На рис. 9 изображен трехгранный угол OA₁A₂A₃ с вершиной O, ребрами - лучами OA₁, OA₂, OA₃ и гранями - плоскими углами A₁OA₂, A₂OA₃ и A₃OA₁.

Рис. 8

Рис. 9

Двугранные углы измеряются так же, как и отвечающие им линейные углы - плоские углы, получающиеся при пересечении двугранных углов плоскостями, перпендикулярными их ребрам (рис. 8). Для многогранных углов вводится телесная мера, аналогичная радианной мере плоских углов. Эта мера, измеряемая в стерадианах (стер), равна отношению площади сферического многоугольника, получающегося в пересечении многогранного угла со сферой с центром в вершине угла, к квадрату радиуса сферы (см. рис. 9). Например, угол комнаты «вырезает» из сферы октант - 1/8 ее часть, поэтому его телесная мера равна (4πR²/8) : R² = π/2 (стер). Оказывается, телесная мера n-гранного угла OA₁A₂...A_n выражается через радианные меры его двугранных углов по формуле нидерландского математика XVII в. А. Жирара

Ω = A₁ + A₂ + ... + A_n - (n-2)π,

где A_i - величина (в радианах) двугранного угла при ребре OA_i (i = 1,2,...,n).

Углом между двумя скрещивающимися прямыми a и b называется угол между проведенными через одну точку параллельными a и b прямыми. Угол между пересекающимися прямыми - это наименьший из получающихся при пересечении плоских углов (т.е. углов между лучами). Аналогично определяется и угол между пересекающимися плоскостями. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее прямоугольной проекцией на плоскость; если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними считается равным 90°. Углы между параллельными или совпадающими прямыми и плоскостями считаются равными 0°, так что все перечисленные в этом абзаце углы заключены в пределах от 0° до 90°.