ТОЖДЕСТВО

Тождество - запись вида A = B, где A и B - выражения, принимающие одинаковые значения при всех значениях входящих в A и B переменных, взятых из некоторого множества M.

Например, равенство

(m² - n²)² + (2mn)² = (m² + n²)²

является тождеством (на множестве всех действительных чисел). Это тождество позволяет построить бесконечно много прямоугольных треугольников с целыми сторонами. Например, при m = 2, n = 1 получаем: 3² + 4² = 5², а при m = 3, n = 2 получаем: 5² + 12² = 13². Равенство

m³ + n³ = (m+n)(m² - mn + n²)

также является тождеством на множестве всех действительных чисел; из него вытекает, в частности, что при целых m и n число m³ + n³ делится нацело на m + n.

Будет ли равенство A = B тождеством, зависит от того, из какого множества выбираются значения переменных. Например, равенство √x² = x является тождеством на множестве всех неотрицательных действительных чисел, но не является тождеством на множестве всех действительных чисел.

Обычно в качестве множества M возможных значений переменных рассматривают множество всех тех значений переменных, при которых оба выражения A и B имеют смысл. Отметим, что это соглашение требует известной осторожности при обращении с тождествами. Например, согласно, этому соглашению равенства √x² = (√x)² и (√x)² = x являются тождествами, а равенство √x² = x тождеством не является. Если выражения A и B тождественно равны, то это записывают формулой A ≡ B.