ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в запись которых входят тригонометрические функции от неизвестного (см. Уравнения). При решении тригонометрических уравнений их обычно сводят к простейшим уравнениям вида R(x) = a, где R(x) - одна из основных тригонометрических функций (синус, косинус, тангенс, котангенс), a - некоторое число.
Простейшие тригонометрические уравнения
sin x = a и (1)
cos x = a (2)
при |a|>1 не имеют решений (рис. 1a, 2а), а при |a|≤1 имеют два корня на любом полуоткрытом промежутке длины 2π (совпадающие при |a| = 1 (рис. 1б, 2б). Все корни этих уравнений выписывают с помощью формул
x = (-1)k arcsin a + πk, k = 0,±1,±2,...,
для уравнения (1);
x = ± arccos a + 2πk,
для уравнения (2)
(рис. 1, 2) (см. Обратные тригонометрические функции).
Рис. 1
Рис. 2
Уравнение
tg x = a (3)
имеет при любом a один корень на любом полуоткрытом промежутке длины π, при этом
x = arctg a + πk, k ∈ Z.
Уравнение
ctg x = a (4)
также имеет при любом a один корень на любом полуоткрытом промежутке длины π, корни уравнения (4) задаются формулой
x = arcctg a + πk, k ∈ Z.
Уравнение вида R(g(x)) =a заменой переменной y = g(x) сводится к простейшему уравнению R(y) = a (R - одна из основных тригонометрических функций). Из этого уравнения можно найти значения yk, после чего останется решить уравнение замены g(x) = yk.
Решим уравнение sin 1/(x-2) = 0. Обозначая y = 1/(x - 2), получим 1/(x - 2) = πk, k = ±1,±2,...; x - 2 = 1/πk, x = 2 + 1/πk. Ответ: {2 + 1/πk; k = ±1,±2,...}.
Нередко замена y = R(x) сводит исходное уравнение к алгебраическому относительно R(x). После нахождения значений y1,y2,... остается решить простейшие уравнения R(x) = y1, R(x) = y2. Например, замена y = sin x сводит уравнение 1 - sin x - 2cos2 x = 0 к алгебраическому уравнению 2y2 - y - 1 = 0.
В случае, когда определен tg(x/2), справедливы формулы:
С помощью этих формул уравнение, связывающее значения sin x, cos x, tg xи ctg x, приводится к уравнению относительно t = tg(x/2). Отдельно надо рассмотреть случай, когда tg(x/2) не определен (т.е. cos (x/2) = 0).
Решим уравнение 2 sin x + cos x = ctg(x/2) - 1. Значения π + 2πk, k = 0,±1,±2,... при которых не определен tg(x/2), являются решениями уравнения (при таких x cos x = -1, sin x = 0, ctg (x/2) = 0 и 2·0-1 = 0-1). При остальных x можно воспользоваться формулами (5); обозначая tg(x/2) через t, получим:
откуда t = -1 или t = 1/3.
Ответ:
{π + 2πk; -π/2 + 2πk; 2arctg 1/3 + 2πk, k = 0,±1,±2,... }.
Уравнение вида
A cos x + B sin x = C, (6)
где A,B,C - некоторые числа, удобно решать с помощью введения вспомогательного аргумента по следующей схеме. Записывая уравнение (6) в виде
легко заметить, что
поэтому существует такой угол φ, что
Следовательно,
и мы получили простейшее уравнение относительно y = x - φ.