ГОТФРИД ВИЛЬГЕЛЬМ ЛЕЙБНИЦ
(1646-1716)
Математика не была его единственной страстью. С юных лет ему хотелось познать природу в целом, и математика должна была стать решающим средством в этом познании. Он был философом и лингвистом, историком и биологом, дипломатом и политическим деятелем, математиком и изобретателем. Научные и общественные планы Лейбница были грандиозны. Он мечтал о создании всемирной академии наук, о построении «универсальной науки». Он хотел выделить простейшие понятия, из которых по определенным правилам можно сформировать все сколь угодно сложные понятия. Лейбниц мечтал об универсальном языке, позволяющем записывать любые мысли в виде математических формул, причем логические ошибки должны проявляться в виде математических ошибок. Он думал о машине, которая выводит теоремы из аксиом, о превращении логических утверждений в арифметические (эта идея была воплощена в жизнь в нашем веке).
Но грандиозность замыслов уживалась у Лейбница с пониманием того, что может быть непосредственно осуществлено. Он не может организовать всемирную академию, но в 1700 г. организует академию в Берлине, рекомендует Петру I организовать академию в России. При организации Петербургской Академии наук в 1725 г. пользовались планами Лейбница. Он прекрасно умеет решать конкретные задачи и в математике: создает новый тип арифмометра, который не только складывает и вычитает числа, но и умножает, делит, возводит в степень и извлекает квадратные и кубические корни, решает трудные геометрические задачи. Вводит понятие определителя и закладывает основы теории определителей. И все же Лейбниц всегда стремился рассмотреть любой вопрос под самым общим углом зрения. Скажем, X. Гюйгенс замечает сохранение энергии на примере некоторых механических задач, а Лейбниц пытается преобразовать это утверждение во всеобщий закон природы, он рассматривает Вселенную в целом как вечный двигатель (предварительная формулировка закона сохранения энергии!).
Но особенно ярко проявились эти качества Лейбница, когда он, узнав о разнообразных математических и механических задачах, решенных Гюйгенсом, по совету последнего знакомится с работой Б. Паскаля о циклоиде. Он начинает понимать, что в решении этих разных задач спрятан общий, универсальный метод решения широкого круга задач и что Паскаль остановился перед решающим шагом, «будто на его глазах была пелена». Лейбниц создает дифференциальное и интегральное исчисления, которые в другом варианте были построены, но не опубликованы И. Ньютоном.
Ученый, занимавшийся разработкой универсального языка, понимает, какую роль в новом исчислении должна играть символика (см. Знаки математические). Без символики (которая сохранилась до наших дней в форме, предложенной Лейбницем) метод математического анализа не вышел бы за пределы узкого круга избранных (как это было с алгеброй до символики Виета-Декарта). Кстати, Лейбниц предложил несколько других математических знаков, например = (равенство), · (умножение). В отличие от Ньютона Лейбниц потратил много сил на передачу своего метода другим математикам, среди которых выделялись братья Якоб и Иоганн Бернулли. По его инициативе создается журнал, в котором группа математиков оттачивает методы нового математического анализа.
Смысл своей жизни Лейбниц видел в познании природы, в создании идей, помогающих раскрыть ее законы.
------------------------------------------
Обратно, если у функции f(x) в точке x есть определенная равенством (5) производная, то
где поправка α стремится к нулю, когда h стремится к нулю. Умножая это равенство на h, получаем
f(x+h) - f(x) = f'(x)·h + α·h, (11)
и значит, функция дифференцируема в точке x.
Итак, мы убедились, что функция имеет дифференциал df = k(x)·h в том, и только в том, случае, когда она имеет производную f'(x), причем df = f'(x)·h. Но дифференциал как линейная по h функция k(x)·h вполне определяется коэффициентом k(x) = f'(x), поэтому отыскание дифференциала функции вполне равносильно отысканию ее производной. Вот почему обе эти операции часто называют одним термином - «дифференцирование», а исчисление называют дифференциальным.
Если вместо h писать Δx, то вместо df = f'(x)·h можно записать df = f'(x)·Δx. Если взять f(x) = x, то f'(x) = 1 и dx = 1·Δx, поэтому вместо приращения Δx независимой переменной часто пишут дифференциал dx. В этих обозначениях получается красивая запись df = f'(x)·dx дифференциала функции, от которой Лейбниц и пришел к обозначению df/dx для производной f'(x), рассматривая последнюю как отношение дифференциалов функции и ее аргумента. Заметим, что обозначение f'(x) для производной было введено лишь в 1770 г. французским математиком Ж. Л. Лагранжем, а исходным было обозначение
Г. Лейбница, которое во многих отношениях настолько удачно, что широко используется и по сей день.
Прежде чем показать, как дифференциал можно использовать в приближенных вычислениях, проследим его геометрическую и физическую интерпретацию.
Если в равенстве (8) вместо x написать x0, то можно считать, что на рис. 1 левой части равенства (8) отвечает отрезок BD (это приращение Δf функции или приращение ординаты кривой y=f(x)), дифференциалу df = f'(x)·Δx отвечает отрезок CD (это приращение ординаты касательной, приближающей нашу кривую в окрестности точки A), а остатку α·h соответствует отрезок BC, который тем меньше в сравнении с отрезком CD, чем меньше приращение Δx аргумента. Именно это обстоятельство отражают соотношение (11) и приближенное равенство (9), означающее, что Δf ≈ df.
На физическом языке, когда f'(x) интерпретируется как скорость в момент x, а f(x+h) - f(x) - как путь, пройденный за промежуток времени h, протекший от момента x, приближенное равенство f(x+h) - f(x) ≈ f'(x)·h означает, что за малое время h скорость мало меняется, поэтому пройденный путь приближенно можно найти, как и в (1), по формуле f'(x)·h, выражающей равномерное прямолинейное движение с постоянной скоростью f'(x).
Равенство (11) и вытекающее из него путем переобозначений соотношение
f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·(x-x0) (12)
позволяют приближенно находить значения функции f(x) в точках x, близких к некоторой точке x0, в которой уже известны значение f(x0) самой функции и значение f'(x0) ее производной.
Например, пусть f(x) = xα и x0=1. Тогда f(1) = 1α = 1, f'(x) = αxα-1, f'(1) = α1α-1 = α, поэтому, полагая x = 1 + Δ, из (12) находим следующую формулу (1+Δ)α ≈ 1+α·Δ для приближенных вычислений, справедливую для любых (не только целых) значений α, при условии малости величины Δ. По этой формуле
(1,05)7 = (1+0,05)7≈ 1+7·0,05 = 1,35.
Важную формулу (12) можно уточнить, если привлечь производные более высоких порядков, которые мы сейчас определим.
Поскольку производная f'(x) функции f(x) сама оказывается функцией аргумента x, то можно поставить вопрос о нахождении производной функции f'(x), т.е. функции (f')'(x), которая обозначается символом f"(x) и называется второй производной исходной функции f(x). Например, если s(t) - закон движения, v(t) = s'(t) - его скорость, а a(t) = v'(t) - ускорение, то a(t) = s"(t) есть вторая производная функции s(t). Вообще можно определить производные любого порядка: n-я производная функции есть производная от ее (n-1)-й производной.
Для обозначения производных порядка n обычно используют символы fn(x) или
Зная производные функции xα, sin x, cos x, легко проверить по индукции, что производные n-го порядка от этих функций соответственно равны
α(α-1)...(α-n+1)xα-n,
sin (x + n π/2), cos (x + n π/2).
Теперь вернемся к формуле (12), в которой функция f(x) приближенно заменяется стоящим в правой части многочленом 1-й степени относительно x-x0. Оказывается, соотношение (12) является частным случаем общего равенства
называемого формулой Тейлора, в котором о величине rn+1, называемой остаточным членом формулы Тейлора, говорится, например, что ее можно представить в виде:
похожем на вид предыдущих членов формулы, но только здесь fn+1(x) вычисляется не в точке ξ, а в некоторой точке лежащей между x0 и x.
Но этой информации бывает достаточно для вычислительных целей. Так, если f(x) = sin x, а x0=0, то вспомнив, что
sin (n)(x) = sin (x+n π/2),
получаем
Значит, если, например, |x| ≤ 1, а n = 6, то |r7| < 10-3 и потому, подставив в (13) f(k)(0) = sin (kπ/2), находим формулу:
sin x ≈x - x3/3! + x5/5!, (15)
позволяющую при любом x из отрезка [-1;1] вычислить значение sin x с точностью, не худшей, чем 10-3.
Можно проверить, что в рассматриваемом случае rn+1 → 0 при неограниченном увеличении n, поэтому можно предложить такую запись:
Справа в этом равенстве стоит бесконечно много слагаемых, т.е., как говорят, имеется ряд. Равенство (16) понимается, как и вообще сумма ряда, в том смысле, что при любом значении x разность между sin x и суммой конечного числа взятых по порядку слагаемых ряда стремится к нулю, если количество слагаемых неограниченно увеличивается.
Ценность формул вида (15), (16) состоит в том, что они позволяют заменить вычисление значений сложной функции вычислением значений приближающего ее многочлена. Вычисление же значений многочлена сводится к одним арифметическим операциям, которые, например, можно выполнить на электронной вычислительной машине.
Ряд (16) является частным случаем ряда
который можно написать для любой бесконечно дифференцируемой функции f(x). Он называется рядом Тейлора этой функции (Б. Тейлор (1685-1731) – английский математик). Ряд Тейлора (17) не всегда имеет своей суммой породившую его функцию f(x), поэтому вопрос о сумме ряда Тейлора каждый раз требует определенного исследования, например такого, какое мы сделали выше, оценивая величину остатка rn+1. Такими рассуждениями можно показать, что
при любом значении x, а равенство
имеет место при |x|<1, если α не целое, и при любом x, если α = n - целое положительное число. Но если α = n, то α(α-1)...(α-m) = n(n-1)...(n-m) = 0 при m > n. Значит, при целых положительных n, в частности, получается соотношение:
известное в математике как бином Ньютона (см. Ньютона бином).