АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ

Алгебраические уравнения – уравнения вида

P(x₁, ..., x_n) = O,

где P - многочлен от переменных x₁, ..., x_n. Эти переменные называют неизвестными. Упорядоченный набор чисел (a₁, ..., a_n) удовлетворяет этому уравнению, если при замене x₁ на a₁, x₂ на a₂ и т.д. получается верное числовое равенство (например, упорядоченная тройка чисел (3, 4, 5) удовлетворяет уравнению x² + y² = z², поскольку 3² + 4² = 5²). Число, удовлетворяющее алгебраическому уравнению с одним неизвестным, называют корнем этого уравнения. Множество всех наборов чисел, удовлетворяющих данному уравнению, есть множество решений этого уравнения. Два алгебраических уравнения, имеющих одно и то же множество решений, называются равносильными. Степень многочлена P называется степенью уравнения P(x₁, ..., x_n) = O. Например, Зx — 5у + z = c - уравнение первой степени, x² + y² = z² - второй степени, а x⁴ - Зx³ + 1 = 0 - четвертой степени. Уравнения первой степени называют также линейными (см. Линейные уравнения).

x² + y² = 10, x² - y² = 8 таково: {(3; 1), (3; -1), (-3; 1), (-3; -1)}.