НЬЮТОНА БИНОМ

Бином Ньютона - название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Формулу для квадрата двучлена (a + b)² = a² + 2ab + b² знали, по-видимому, еще математики Древнего Вавилона, а древнегреческие математики знали ее геометрическое истолкование (см. Алгебра). Если умножить обе части этой формулы на a+b и раскрыть скобки, то получим:

(a+b)³ = (a²+2ab+b²)(a+b) = a³+a²b+2a²b+2ab²+ab²+b³, т.е. (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³.

Еще один такой шаг приводит к формуле (a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴.

Легко заметить закон образования коэффициентов: коэффициент 4 при a³b есть сумма коэффициентов 3 и 1 при a²b и a³. Аналогично, коэффициент 6 при a²b² является суммой 3 + 3 коэффициентов при ab² и a²b. По тому же закону получаем и коэффициент 4 при ab³.

Таким образом, коэффициент

Отсюда следует, что коэффициенты

являются членами (n+1)-й строки треугольника Паскаля (см. Паскаля треугольник). Это утверждение было известно задолго до Паскаля - его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г. Еще до этого было известно, что числа

являются в то же время числами «сочетаний без повторений» из n элементов по k (см. Комбинаторика).

В 1664-1665 гг. И. Ньютон установил, что формула (1) обобщается на случай произвольных (дробных и отрицательных) показателей, но при этом получается сумма из бесконечного множества слагаемых. Именно он показал, что при |x|<1

При n = -1 формула (2) превращается в известную формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

1/(1+x) = 1 - x + x² - x³ +...+ (-1)^n-1xⁿ + ....