СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Степенная функция - функция вида y=xα, где α - заданное число, называемое показателем степени. Иногда степенной функцией называется функция несколько более общего вида y=axα.

Многие функциональные зависимости выражаются через степенную функцию. Например, объем куба V есть степенная функция от x (длины его ребра): V = x3; период T колебаний математического маятника пропорционален длине маятника x в степени 1/2, а именно

. Если газ расширяется или сжимается без теплообмена с окружающей средой, то его давление P и объем V связаны формулой V·Pk=C (для воздуха, например, k=-1,4). Заметим, что в двух последних случаях показатель не является целым числом.

При любом показателе степени α показательная функция y=xα определена во всяком случае на положительной полуоси. Свойства степенной функции различны в зависимости от значения показателя степени. Если α - натуральное число (α=n), то функция y = xn определена на всей числовой оси, обращается в нуль при x=0, четная при четном n и нечетная при n нечетном, неограниченно возрастает при безграничном возрастании аргумента x. На рис. 1 и 2 приведены графики типичных степенных функций с целым положительным показателем: y = x3 (кубическая парабола) и y = x4 (парабола четвертой степени). При n = 1 степенная функция y = x является линейной функцией, при n = 2 - квадратичной функцией y=x2.

Рис. 1

Рис. 2

Если α - отрицательное целое число (α = -n), то степенная функция определяется равенством y=1/xn. Она определена при всех отличных от нуля x. Ее график состоит из двух частей (ветвей), имеющих асимптотами оси координат, к которым эти кривые неограниченно приближаются. Типичные представители - функции y = 1/x и y=1/x2 их графики даны на рис. 3 и 4. При α = 0 по определению x0=1. Если α = 1/n, то функция y = x1/n (обозначается также

) определяется как обратная функция для функции y = xn. При четном n функция определена лишь для x ≥ 0, а при нечетном n - на всей оси. Графики таких функций
 и
 изображены на рис. 5 и 6.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Для рационального показателя α = p/q (p/q - несократимая дробь) степенная функция определяется формулой

y = xp/q = (x1/q)p.

Графики типичных степенных функций с рациональным показателем приведены на рис. 7, 8, 9.

Рис. 7

Рис. 8

Рис. 9