ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Функции, определяемые формулами

sh x = (e^x - e^-x)/2, ch x = (e^x + e^-x)/2,

называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом. На рис. 1 и 2 приведены графики гиперболических функций. Гиперболический синус – возрастающая функция, нечетная, равная нулю при x=0, положительная при x > 0 и отрицательная при x < 0. Гиперболический косинус – четная функция, в точке x=0 принимает наименьшее значение. При неограниченном возрастании аргумента (x → +∞) обе эти функции очень быстро возрастают. С достаточной степенью точности их можно заменить при больших x просто показательной функцией 1/2 e^x.

Рис. 1

Рис. 2

Нетрудно убедиться, что при любых x справедливо следующее равенство:

ch²x - sh²x = 1.

Гиперболические функции обладают многими свойствами, аналогичными свойствам тригонометрических функций, например справедливы следующие формулы:

sh(x+y) = sh x · ch y + ch x · sh y,

ch(x+y) = ch x · ch y + sh x · sh y,

sh 2x = 2sh x · ch x,

ch 2x = ch² x + sh² x.

Кроме функций sh x и ch x рассматриваются также гиперболические тангенс и котангенс, которые обозначаются th x и cth x; они определяются по формулам:

Графики этих функций изображены на рис. 3.

Рис. 3

Название свое гиперболические функции получили потому, что они связаны с равнобочной гиперболой x² - y² = 1 так же, как функции синус и косинус связаны с единичной окружностью x² + y² = 1 (рис. 4 и 5). Если точка M лежит на единичной окружности, то ее абсцисса и ордината соответственно равны s = cos t, y = sin t. Для точки M', лежащей на гиперболе x² - y² = 1, абсциссу и ординату можно представить в виде x = ch t, y = sh t. Для окружности t равно углу AOM, но, кроме того, t также равно удвоенной площади сектора AOM. Последнее верно и для гиперболы, т.е. если t равно удвоенной площади гиперболического сектора AOM', то координаты точки M' равны x = ch t и y = sh t.

Рис. 4

Рис. 5

Гиперболические функции находят применение в электротехнике, строительной механике, сопротивлении материалов и др. С помощью гиперболических функций описывается, например, прогиб каната (цепи, проволоки, веревки); такая кривая называется цепной линией.