ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР

(1707-1783)

Эйлер, крупнейший математик XVIII в., родился в Швейцарии. В 1727 г. по приглашению Петербургской академии наук он приехал в Россию. В Петербурге Эйлер попал в круг выдающихся ученых: математиков, физиков, астрономов, получил большие возможности для создания и издания своих трудов. Он работал с увлечением и вскоре стал, по единодушному признанию современников, первым математиком мира.

Научное наследие Эйлера поражает своим объемом и разносторонностью. В списке его трудов более 800 названий. Полное собрание сочинений ученого занимает 72 тома. Среди его работ – первые учебники по дифференциальному и интегральному исчислению.

В теории чисел Эйлер продолжил деятельность французского математика П. Ферма и доказал ряд утверждений: малую теорему Ферма, великую теорему Ферма для показателей 3 и 4 (см. Ферма великая теорема). Он сформулировал проблемы, которые определили горизонты теории чисел на десятилетия.

Эйлер предложил применить в теории чисел средства математического анализа и сделал первые шаги по этому пути. Он понимал, что, двигаясь дальше, можно оценить число простых чисел, не превосходящих n, и наметил утверждение, которое затем докажут в XIX в. математики П. Л. Чебышев и Ж. Адамар.

Эйлер много работает в области математического анализа. Здесь он постоянно пользуется комплексными числами. Его имя носит формула e^ix = cos x + i sin x, устанавливающая связь тригонометрических и показательной функций, возникающую при использовании комплексных чисел.

Ученый впервые разработал общее учение о логарифмической функции, согласно которому все комплексные числа, кроме нуля, имеют логарифмы, причем каждому числу соответствует бесчисленное множество значений логарифма.

В геометрии Эйлер положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в самостоятельную науку – топологию.

Имя Эйлера носит формула, связывающая число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) выпуклого многогранника: B - P + Г = 2.

Даже основные результаты научной деятельности Эйлера трудно перечислить. Здесь и геометрия кривых и поверхностей, и первое изложение вариационного исчисления с многочисленными новыми конкретными результатами. У него были труды по гидравлике, кораблестроению, артиллерии, геометрической оптике и даже по теории музыки. Он впервые дает аналитическое изложение механики вместо геометрического изложения Ньютона, строит механику твердой точки или твердой пластины.

Одно из самых замечательных достижений Эйлера связано с астрономией и небесной механикой. Он построил точную теорию движения Луны с учетом притяжения не только Земли, но и Солнца. Это пример решения очень трудной задачи.

Последние 17 лет жизни Эйлера были омрачены почти полной потерей зрения. Но он продолжал творить так же интенсивно, как в молодые годы. Только теперь он уже не писал сам, а диктовал ученикам, которые проводили за него наиболее громоздкие вычисления.

Для многих поколений математиков Эйлер был учителем. По его математическим руководствам, книгам по механике и физике училось несколько поколений. Основное содержание этих книг вошло и в современные учебники.

------------------------------------------

Итак, определены важнейшие понятия интегрального исчисления и получена формула Ньютона-Лейбница, связывающая интегрирование и дифференцирование.

Подобно тому как в дифференциальном исчислении к понятию производной вела не только задача определения мгновенной скорости движения, но и задача проведения касательной, так в интегральном исчислении к понятию интеграла приводит не только физическая задача определения пройденного пути по заданной скорости движения, но и многие другие задачи, и в их числе древние геометрические задачи о вычислении площадей и объемов.

Пусть требуется найти площадь S изображенной на рис. 1 фигуры aABb (называемой криволинейной трапецией), верхняя «сторона» AB которой есть график заданной на отрезке [a;b] функции y=f(x). Точками a = x₀ < x₁ <...<x_n = b разобьем отрезок [a;b] на мелкие отрезки [x_i-1;x_i], в каждом из которых фиксируем некоторую точку ξ ∈ [x_i-1; x_i]. Площадь узкой криволинейной трапеции, лежащей над отрезком [x_i-1;x_i], заменим приближенно площадью f(ξ_i)(x_i - x_i-1) = f(ξ_i)Δx_i  соответствующего прямоугольника с основанием [x_i-1;x_i] и высотой f(ξ_i). В таком случае приближенное значение площади S всей фигуры aABb даст знакомая нам интегральная сумма

Рис. 1

Попробуем теперь вслед за Архимедом выяснить, в каком отношении парабола y=x² делит площадь изображенного на рис. 2 единичного квадрата. Для этого попросту вычислим, исходя из формулы (8), площадь S нижнего параболического треугольника. В нашем случае [a;b] = [0;1] и f(x) = x². Нам известна первообразная F(x) = x³/3 функции f(x) = x², значит, можно воспользоваться формулой (7') Ньютона-Лейбница и без труда получить

Следовательно, парабола делит площадь квадрата в отношении 2:1.

Рис. 2

При обращении с интегралами, особенно применяя формулу Ньютона-Лейбница, можно пользоваться общими свойствами неопределенного интеграла, которые названы в начале статьи. В частности, правило замены переменной в неопределенном интеграле при условии, что a = φ(α), b = φ(β), с учетом формулы Ньютона-Лейбница позволяет заключить, что

и таким образом, получается очень полезная формула замены переменной в определенном интеграле:

С помощью интегралов вычисляют также объемы тел. Если изображенную на рис. 1 криволинейную трапецию aABb вращать вокруг оси Ox, то получится тело вращения, которое приближенно можно считать составленным из узких цилиндров (рис. 3), полученных при вращении соответствующих прямоугольников. Сохраняя прежние обозначения, записываем объем каждого из этих цилиндров в виде πf²(ξ_i)·Δx_i (произведение площади πf²(ξ_i) основания на высоту Δx_i). Сумма πf²(ξ₁)·Δx₁ + πf²(ξ₂)·Δx₂ + ... + πf²(ξ_n)·Δx_n дает приближенное значение объема V рассматриваемого тела вращения. Точное значение V получится как предел таких сумм при Δ → 0. Значит,

Рис. 3

В частности, чтобы вычислить объем изображенного на рис. 4 конуса, достаточно положить в формуле (10) a = 0, b = h и f(x) = kx, где k - угловой коэффициент вращаемой прямой. Найдя первообразную k²x³/3 функции f²(x) = k²x² и воспользовавшись формулой Ньютона-Лейбница, получаем

где S = π(kh)² площадь круга, лежащего в основании конуса.

Рис. 4

В разобранных примерах мы исчерпывали геометрическую фигуру такими фигурами, площади или объемы которых могли вычислить, а затем делали предельный переход. Этот прием, идущий от Евдокса и развитый Архимедом, называется методом исчерпывания. Это наиболее распространенный метод рассуждений в большинстве применений интеграла.

«Поскольку бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром – фигурами правильными, тем самым они поддаются геометрическим изменениям». И. Кеплер

Смысл – там, где змеи интеграла. Меж цифр и букв, меж d и f! В. Я. Брюсов

В качестве еще одного примера рассмотрим вполне конкретный «космический» вопрос.

Мы хотим вычислить скорость M, до которой нужно разогнать тело (ракету), чтобы затем оно, удаляясь по инерции от планеты вдоль радиуса, уже никогда не было возвращено притяжением планеты назад. Эта скорость называется второй космической, в отличие от первой космической, которую должен иметь спутник, выходящий на орбиту у поверхности планеты.

Пусть m - масса тела, M - масса планеты. Кинетической энергии mv²/2, которой следует наделить тело для выхода из поля притяжения планеты, должно хватить, чтобы совершить работу против силы тяготения. Величина этой силы на расстоянии r от центра планеты по открытому Ньютоном закону всемирного тяготения равна

где G - гравитационная постоянная. Таким образом, эта сила меняется, причем ослабевает по  мере удаления от планеты.

Вычислим работу

Если бы сила была постоянна, то мы просто умножили бы ее величину на длину R - R₀ пройденного вдоль направления ее действия пути и нашли бы совершенную работу. Но сила меняется, поэтому мы разобьем весь промежуток [R₀;R] точками R₀ = r₀ < r₁ <... <r_n = R на маленькие промежутки, в пределах которых изменением силы можно пренебречь; найдем приближенно элементарные работы

на каждом из промежутков [r_i-1;r_i]; сложив элементарные работы

получим приближенное значение искомой работы

в котором роль переменной интегрирования играет r. Величины G,m,M постоянны, а функция r^-2 имеет первообразную -r^-1, зная которую по формуле Ньютона-Лейбница находим