Глава 6 Решение более простой аналогичной задачи

Некоторые задачи на первый взгляд кажутся чрезвычайно сложными. Смутить могут, например, очень большие числа. А иногда в замешательство приводит излишнее количество данных, некоторые из которых совершенно не нужны для решения. Даже формулировка задачи способна поставить в тупик. Что бы там ни было, отличный подход — упростить задачу, однако так, чтобы она осталась эквивалентной исходному варианту. Попробуйте уменьшить числа, изменить рисунок или как-то иначе упростить задачу. Решая упрощенную версию, вы получаете представление о том, как справиться с исходной задачей.

Купив первый раз новый компьютер, вы ведь не брались за освоение сразу всех функций и возможностей, а, скорее всего, начинали с чего-то более знакомого и постепенно добавляли новое, пока не выясняли, на что способно приобретение. Наверняка вы брались сначала за более простые функции.

Допустим, вам нужно решить следующую задачу:

Дано 19 последовательных целых чисел, сумма которых равна 95. Какое число стоит на десятом месте в этом ряду?

Одни, скорее всего, попробуют применить алгебраический подход и представят 19 целых чисел, как x, (x + 1), (x + 2), (x + 3), …, (x + 17), (x + 18) и так далее. Так они дойдут до 95, а потом найдут решение для x. Другие заметят, что число в десятой позиции является средним, обозначат его как x и представят остальные числа следующим образом: (x + 9), (x + 8), (x + 7), …, (x ? 7), (x ? 8), (x ? 9). Теперь можно объединять парные члены по мере их добавления, т. е. преобразовывать (x ? 9) и (x + 9) в 2x, (x ? 8) и (x + 8) тоже в 2x и т. д., получая каждый раз 2x. Такая версия намного проще для решения, поскольку мы получаем уравнение вида 9(2x) + x = 95, или 19x = 95 откуда x = 5.

Вместе с тем есть еще более интересный подход. Допустим, мы рассматриваем более короткий ряд чисел, например 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Их сумма (25) при делении на 5 дает среднее, а именно 5, которое оказывается средним числом ряда. Для ряда в нашей задаче средним число является 10-й член, а поскольку целые числа последовательны, этот член является также средним арифметическим, или средним числового ряда из 19 членов. Таким образом, чтобы найти среднее, нужно просто взять сумму (95) и разделить ее на количество членов ряда (19). Ответ — 5. Эта упрощенная версия задачи позволяет представить исходное задание в значительно более простой форме и, таким образом, облегчить решение.

Зачастую можно не ограничиваться простым уменьшением сложности исходной задачи, а применить также и другие наши стратегии. Например, найдите десятичное значение числа 1/500 000 000 000.

Воспользоваться калькулятором здесь не удастся, поскольку дисплеи большинства из них не воспроизводят 12-значные числа. Применим две другие стратегии: организуем данные и найдем закономерность. Решим ряд более простых версий нашей задачи, представим результаты в табличной форме, а потом посмотрим, нет ли в них какой-либо закономерности.

Здесь определенно просматривается закономерность. Количество нулей в знаменателе равно количеству нулей между запятой и 2. Поскольку в знаменателе 11 нулей после 5, между запятой и 2 должно быть тоже 11 нулей:

Обратите внимание, насколько упрощенная версия(и) исходной задачи вместе с двумя другими стратегиями облегчают решение. Имейте в виду, что использование нескольких стратегий для решения задачи не редкость.