Глава 4 Принятие другой точки зрения

Среди множества стратегий решения математических задач есть такая, которая позволяет выйти из положения, когда вы «упираетесь в стену». Это подход к задаче с другой точки зрения. Ниже приведен пример такой стратегии, который является классическим в силу простоты и кардинальности изменения метода решения. В этом примере обычный подход дает правильный ответ, однако он громоздок и нередко приводит к арифметическим ошибкам. Рассмотрим следующую задачу.

В школе 25 классов, каждый из которых выставляет баскетбольную команду для участия в общешкольном турнире. По условиям турнира команда, проигравшая в одной встрече, выбывает из соревнования. В школе всего один спортивный зал, и директор хочет знать, сколько встреч придется провести в нем, чтобы определить победителя.

Типичное решение этой задачи заключается в моделировании реального турнира, в котором 12 случайно выбранных команд встречаются с другой группой из 12 команд, а одна команда освобождается от соревнований. Победители затем встречаются друг с другом, как показано ниже.

Любые 12 команд играют против других 12 команд, в результате чего определяются 12 победителей.

Во втором круге 6 победителей встречаются с 6 другими победителями, в результате чего определяются 6 победителей.

В третьем круге 3 победителя встречаются с 3 другими победителями, в результате чего определяются 3 победителя.

3 победителя + 1 команда (освобожденная от соревнований) = 4 команды.

В четвертом круге 2 оставшиеся команды встречаются с 2 оставшимися командами, в результате чего определяются 2 победителя турнира.

В пятом круге 1 команда играет против 1 команды за звание чемпиона.

Теперь подсчитаем количество проведенных игр.

Суммарное количество проведенных игр равно:

12 + 6 + 3 + 2 + 1 =24.

Такой метод решения кажется вполне разумным и определенно правильным.

Если подойти к этой задаче с другой точки зрения и определять проигравших, а не победителей, то решение будет значительно проще. В этом случае мы задаемся вопросом, сколько должно быть проигравших, чтобы определить одного чемпиона? Понятно, что проигравших должно быть 24. Чтобы появились 24 проигравших, нужно провести 24 игры. Ответ найден. Взгляд на задачу с другой точки зрения — интересный подход, который может оказаться полезным в различных ситуациях.

Для получения еще одной альтернативной точки зрения на задачу представьте, что в составе наших 25 команд одна является профессиональной баскетбольной командой, которая гарантированно побеждает в турнире. Каждая из оставшихся 24 команд при встрече с профессиональной командой неизбежно проигрывает. И опять мы видим, что для определения чемпиона нужно провести 24 игры. Это должно показать вам действенность данного метода решения задач. Посмотрим теперь, какие задачи можно эффективно решать с помощью принятия другой точки зрения.