Образцовое решение

Попробуем применить стратегию поиска закономерности в сочетании с таблицей для организации данных. Если начать с доски размером 1 клетка на 1 клетку, то, очевидно, на ней будет только один квадрат, т. е. квадрат 1 ? 1. На доске размером 2 клетки на 2 клетки мы увидим четыре квадрата 1 ? 1 и один квадрат 2 ? 2, т. е. всего 5 квадратов. Представим данные в таблице по мере увеличения размера нашей доски от 1 ? 1 до 2 ? 2, 3 ? 3 и т. д.

В таблице явно просматривается закономерность заполнения клеток в каждой строке, поэтому мы быстро определяем, что на шахматной доске размером 8 ? 8 клеток находятся 204 квадрата всех размеров.

В представленной выше таблице можно заметить не только одну закономерность. В ней, например, встречается множество квадратов целых чисел. А если взглянуть на колонку «Всего» и определить разность между следующими друг за другом членами, то мы получим интересную последовательность:

5–1 = 4

14–5 = 9

30–14 = 16

55–30 = 25

91–55 = 36

140–91 = 49

204–140 = 64.

Опять мы получаем квадраты целых чисел. Если теперь найти разность второго порядка, т. е. разность между квадратами, то мы получим последовательность нечетных чисел, начиная с 5:

9–4 = 5

16–9 = 7

25–16 = 9

36–25 = 11

49–36 = 13

64–49 = 15.

Закономерности не только очень полезны для решения задач, как мы видели выше, они также придают прелесть математике.