Образцовое решение

Наша стратегия поиска ответа от обратного оказывается более рациональной в данном случае. Возьмем четырехугольник ABCD с диагоналями, пересекающимися в точке E, и с точкой P, которая, на наш взгляд, может быть искомой, имеющей минимальную сумму расстояний до вершин. Соединим точку P пунктирными линиями с вершинами, как показано на рис. 3.5.

Рассмотрение треугольника APC показывает, что AP + PC > AC, поскольку сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Аналогичным образом, BP + PD > BD. В результате суммирования мы получаем, что AP + PC + BP + PD > AC + BD. Таким образом, отталкиваясь от предположения, что P может быть искомой точкой, мы находим, что выбор любой другой точки даст такой же результат. Единственной точкой, удовлетворяющей условиям задачи, является точка E на пересечении диагоналей.