Образцовое решение

Мы подойдем к решению задачи с другой точки зрения. Вместо развертывания 22⁷ в число без степени разложим его на числа в степени:

22⁷ = (2⁷) (11⁷) = (2⁷) (11²) (11²) (11²) (11) = (123 + 5) (123–2) (123–2) (123–2) (11).

Теперь вспомним, что произведение двух двучленов вида 123 + s и 123 + t можно представить как 123k + st:

(123 + s) (123 + t) = 123² + 123s + 123t + st = 123 (123 + s + t) + st = 123k + st.

Таким образом, мы получаем:

123n — 440 = 123n ? 492 + 52 = 123 (n ? 4) + 52.

При делении числа 22⁷ на 123 остаток равен 52.