Глава 22 Обратные тригонометрические функции
Определения обратных тригонометрических функций приводят к следующим соотношениям.
Если arcsin x = ? (?1 ? x ? 1), то sin ? = x и ??/2 ? ? ? ?/2 .
Если x ? 0, то 0 ? ? ? ?/2 ; если x ? 0, то ??/2 ? ? ? 0.
Если arccos x = ? (?1 ? x ? 1), то cos ? = x и 0 ? ? ? ?.
Если x ? 0, то 0 ? ? ? ?/2; если x ? 0, то ?/2 ? ? ? ?.
Если arctg x = ?, то tg ? = x и ??/2 < ? < ?/2.
Если x ? 0, то 0 ? ? < ?/2 ; если x ? 0, то ??/2 < ? ? 0.
Если arctg x = ?, то ctg ? = x и 0 < ? < ?.
Если x ? 0, то 0 < ? ? ?/2; если x ? 0, то ?/2 ? ? < ?.
Имеют место следующие соотношения[14]:
arcsin x + arccos x = ?/2; arctg x + arcctg x = ?/2;
arcsin (?x) = ?arcsin x; arctg (?x) = ?arctg x; arccos (?x) = ? ? arccos x; arcctg (?x) = ? ? arcctg x.
22.1. Докажите, что
2 arctg ? + arctg 7/23 = ?/4.
22.2. Представьте выражение
arctg 7/9 + arcctg 8 + arcsin ?2/4
в виде значения функции arcsin x.
22.3. Представьте выражение
arctg (?2) + arcsin ? + arctg (??)
в виде значения лишь одной обратной тригонометрической функции.
22.4. Вычислите сумму
22.5. Найдите
arccos (sin ?(x? + x ? З)),
если
22.6. Докажите, что если 0 ? x ? 1, то
22.7. Докажите, что выражение arcsin
Решите уравнения:
22.8. tg (З arcsin x) = 1.
22.9. arcsin 3x/5 + arcsin 4x/5 = arcsin x.
22.10. arcsin 2x + arcsin x = ?/3.
22.11. arctg (2 + cos x) ? arctg (2 cos? x/2) = ?/4.
22.12.
22.13. arctg (x ? 1) + arctg x + arctg (x + 1) = arctg Зx.