Глава 23 Область определения. Периодичность
23.1. С одной стороны, log3sin x ? 0, так как sin x ? 1, а с другой стороны, log3sin x ? 0, так как это выражение стоит под знаком квадратного корня. Остается единственная возможность:
log3sin x = 0, sin x = 1, x = ?(4n + 1)/2.
Ответ. ?(4n + 1)/2.
23.2. Чтобы найти область определения данной функции, нужно решить систему
которая эквивалентна неравенству
0 < x? ? x ? 1 < 1, или (х? ? x ? 1)(х? ? x ? 2) < 0,
т. е.
(x ? 1 ? ?5/2)(x ? 1 + ?5/2)(x + 1)(x ? 2) < 0.
Ответ. ?1 < x < 1 ? ?5/2; 1 + ?5/2 < x < 2.
23.3. Данное выражение принимает действительные значения, если x удовлетворяет неравенству
которое равносильно неравенству
Его можно заменить системой
Ответ. 3/2 < x ? 4.
23.4. Чтобы существовал арккосинус, необходимо и достаточно, чтобы
?1 ? x? ? Зх + 1 ? 1,
т. е.
(х? ? Зх + 2)(х? ? Зх) ? 0, или x(x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) ? 0,
откуда
0 ? x ? 1, 2 ? x ? 3.
Из найденных интервалов нужно исключить точки, в которых tg 2x не существует, т. е. числа x = ?(2n + 1)/4. Два из этих чисел: x = ?/4 и x = 3?/4 лежат в найденных интервалах.
Ответ. 0 ? x < ?/4, ?/4 < x ? 1, 2 < x < 3?/4, 3?/4 < x ? 3.
23.5. Данное выражение принимает действительные значения, если удовлетворяется система неравенств
Решением этой системы будет часть плоскости, лежащая внутри параболы y = x?, вне круга x? + y? = 1 и ниже прямой y = 2, причем точки, лежащие на границе и принадлежащие или прямой, или параболе, не входят в область, а точки, лежащие на окружности (кроме точек А и С — рис. P.23.5), входят в область определения.
23.6. Способ 1. Пусть Т — период функции. Тогда
cos (x + Т)? = cos x?
при всех x. Если x = 0, то получим cos Т? = 1, откуда Т? = 2n?. Если x = Т?2 , то cos (?2 + 1)?Т? = cos 2Т?, откуда или
(?2 + 1)?Т? + 2Т? = 2k?, или (?2 + 1)?Т? ? 2Т? = 2m?,
т. е.
либо (2 + 2?2)Т? = 2k?, либо (1 + 2?2)Т? = 2m?.
Подставляя в оба выражения Т? = 2n?, получим соответственно
5 + 2?2 = k/n или 1 + 2?2 = m/n,
что невозможно, так как слева стоят иррациональные числа, а справа — рациональные.
Способ 2. Найдем корни функции cos x?:
Рассмотрим положительные корни
Предположим, что Т > 0 — период функции. Тогда, если при x = х1 функция равна нулю, то и при x = x1 + Т она тоже равна нулю. Другими словами, х1 + Т = xm. Аналогично x2 + Т = хk. Вычитая одно равенство из другого, получим
т. е.
Возведем в квадрат:
После вторичного возведения в квадрат получим
Это равенство возможно лишь при
23.7. Если f(x) — периодическая функция с периодом Т, то при всех x должно выполняться тождество
sin (x + Т) + cos [а(x + Т)] = sin x + cos аx.
Положив в этом тождестве x = 0, x = ?Т и x = Т, получим
Из первого и второго равенств найдем cos aT = 1 и T = 2n?/a. Подставим найденное значение Т в последнее уравнение:
sin 4n?/a + cos 4n? = sin 2n?/a + cos 2n?,
т. е.
sin 4n?/a = sin 2n?/a,
откуда или 4n?/a ? 2n?/a = 2k?, или 4n?/a + 2n?/a = (2k + 1)?, т. e. или а = n/k, или a = 6n/2k + 1. И в том и в другом случае а — рациональное число.
23.8. Период функции cos 3x/2 равен Т1 = 2? : 3/2 = 4?/3, период функции sin x/3 равен 6?.
Наименьшее общее кратное этих периодов будет 12?. Очевидно, что 12? — период данной функции. Докажем, что это — основной период.
Пусть существует период ? такой, что 0 < ? < 12?. Тогда имеем тождество
cos 3/2(x + ?) ? sin x + ?/3 ? cos 3/2x + sin x/3 = 0,
или
sin ? ? sin ? (2x + ?) + sin ?/6 cos 1/6 (2x + ?) = 0.
Так как ? < 12?, а ?? = 3?/4?? и ?/6 = ?/6??, то одно из чисел 3?/4? или ?/6? не является целым, т. е. по крайней мере одно из чисел sin ?? и sin ?/6 не равно нулю. Пусть, например, sin ?? ? 0.
Тогда имеем тождество
что невозможно, так как в правой части стоит постоянная величина. Легко убедиться, что это тождество ложно, выбрав, например, x = 0 и x = 6? и сравнив для этих x левые части. Получим sin 3?/4 = 0, что противоречит предположению.
Ответ. 12?.