Московский государственный университет им. M. В. Ломоносова (МГУ) (экономический факультет)

1. Решите уравнение

3^|x| = 5^{x? + 3x}.

2. Решите систему неравенств

3. В треугольнике АВС со стороной AB = ?5 из вершины В к стороне AC проведены медиана ВМ = 2?2 и высота ВН = 2. Найдите сторону ВС, если известно, что ?АВС + ?ACВ < 90°.

4. Банк планирует вложить на один год 40% имеющихся y него средств клиентов в проект X, а остальные 60% — в проект Y. В зависимости от обстоятельств проект X может принести прибыль в размере от 19 до 24% годовых, а проект Y — от 29 до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определите наименьший и наибольший возможный уровень процентной ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10% и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты X и Y.

5. Функция f(x) определена на всей числовой прямой, является нечетной, периодической с периодом 4, и на промежутке 0 ? x ? 2 ее значения вычисляются по правилу f(x) = 1 ? |x ? 1|. Решите уравнение

2 f(x) f(x ? 8) + 5 f(x + 12) + 2 = 0.

6. Найдите все значения параметра а, при которых периметр фигуры, заданной на координатной плоскости условием

будет наименьшим.