Глава 13 Тригонометрические уравнения и системы
Простейшие тригонометрические уравнения.
sin x = а, x = n? + (?1)n arcsin а, |а| ? 1,
cos x = а, x = 2n? ± arccos а, |а| ? 1,
tg x = а, x = n? + arctg а,
ctg x = а, x = n? + arcctg а.
Во всех формулах n — произвольное целое число, т. е. n = 0; ±1; ±2; ±3; ... .
Решения уравнения sin x = а часто удобно записывать в виде двух серий корней:
x = 2n? + ?rсsin а, x = ?(2n + 1) ? arcsin а.
Хотя приведенные формулы для решений уравнений sin x = а и cos x = а верны при всех значениях а, удовлетворяющих указанным справа ограничениям, при некоторых а эти формулы дают неудобный ответ.
Так, например, если к уравнению sin x = 1 применить общую формулу, то получим
x = n? + (?1)n ?/2.
При n = 2k получим x = 2k? + ?/2, а при n = 2k + 1 получим x = 2k? + ? ? ?/2 = 2k? + ?/2. При четном и нечетном n мы пришли к одинаковому ответу. Но этот же ответ можно получить гораздо проще, если не пользоваться общей формулой. Достаточно заметить, что sin x = 1 тогда и только тогда, когда подвижный радиус вертикален и направлен вверх.
Поэтому целесообразно помнить решения уравнений:
sin x = 0, x = n?; sin x = 1, x = ?/2 + 2n?; sin x = ?1, x = ? ?/2 + 2n?;
cos x = 0, x = ?/2 + n?; cos x = 1, x = 2n?; cos x = ?1, x = (2n + 1)?;
tg x = 0, x = n?; ctg x = 0, x = ?/2 + n?.
При решении уравнений удобно пользоваться теоремами: уравнение cos x = cos у равносильно совокупности уравнений x + у = 2k?, x ? у = 2l?; уравнение sin x = sin у равносильно совокупности уравнений x + у = (2k + 1)?, x ? у = 2l?. Обратите внимание на то обстоятельство, что в разных уравнениях, входящих в совокупность, вообще говоря, используют разные буквы для обозначения произвольного целого числа. Это следует из того, что уравнения для x + у и для x ? у решаются независимо одно от другого. Переход от уравнения tg x = tg у к уравнению x ? у = ?k может привести к приобретению посторонних решений, если tg x и tg у перестают существовать.
Однородные уравнения. Уравнение вида
а0 sink x + а1 sink ? 1 x cos x + ...
... + аk ? 1 sin x cosk ? 1 x + аk cosk x = 0 (1)
называется однородным, так как все слагаемые его левой части имеют одинаковую степень относительно sin x и cos x.
При ?0 ? 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых cos x = 0. В самом деле, полагая cos x = 0, мы получаем из уравнения (1): а0 sink x = 0, откуда sink x = 0, так как а0 ? 0 по условию. Но это невозможно, поскольку нет таких значений x, при которых sin x и cos x одновременно обращаются в нуль.
Аналогично при ак ? 0 среди решений уравнения (1) не содержится значений x, при которых sin x = 0.
Наметим пути решения уравнения (1). Рассмотрим два случая.
Случай 1. a0 ? 0 и аk ? 0. В этом случае, разделив уравнение (1) на cosk x, мы получим (поскольку cos x ? 0) равносильное ему алгебраическое уравнение
а0ук + а1уk ? 1 + ... + аk ? 1у + аk = 0 (2)
относительно у = tg x.
Можно также делить уравнение (1) на sink x. Тогда (поскольку sin x ? 0) мы получим равносильное уравнению (1) алгебраическое уравнение
а0 + а1z + ... + аk ? 1zk ? 1 + аkzk = 0 (3)
относительно z = ctg x.
Пример 1. Решить уравнение
sin? x ? 2 sin? x cos x ? sin x cos? x + 2 cos? x = 0. (4)
Разделив его на cos? x, получим алгебраическое уравнение
у? ? 2у? ? у + 2 = 0,
где у = tg x. Последнее уравнение легко решается путем разложения его левой части на множители, и мы находим корни:
у1 = ?1, у2 = 1, у3 = 2.
Теперь остается решить совокупность уравнений
tg x = ?1, tg x = 1, tg x = 2.
Мы получим следующие корни уравнения (1):
x = n? ± ?/4 , x = n? + arctg 2.
Случай 2. a0 = 0, или ak = 0, или а0 = ak = 0. Пусть, например, a0 = ak = 0, а a1 ? 0 и ak ? 1 ? 0. Тогда уравнение (1) примет вид
a1 sink ? 1 x cos x + a2 sink ? 2 x cos? x + ...
... + ak ? 2 sin? x cosk ? 2 x + ak ? 1 sin x cosk ? 1 x = 0. (5)
В левой части уравнения выносим за скобки все, что возможно (в случае уравнения (5) мы можем вынести за скобки произведение sin x cos x). В результате получим уравнение
sin x cos x (a1 sink ? 1 x + a2 sink ? 2 x cos x + ...
... + ak ? 2 sin x cosk ? 2 x + ak ? 1 cosk ? 1 x) = 0,
распадающееся на совокупность уравнений
sin 2х = 0,
a1 sink ? 1 x + a2 sink ? 2 x cos x + ...
... + ak ? 2 sin x cosk ? 2 x + ak ? 1 cosk ? 1 x = 0,
первое из которых решается просто (см. с. 77), а пути решения второго уравнения показаны в случае 1).
Пример 2. Решить уравнение
sin4 x cos x ? 2 sin? x cos? x ? sin? x cos? x + 2 sin x cos4 x = 0.
Левую часть уравнения разлагаем на множители:
sin x cos x (sin? x ? 2 sin? x cos x ? sin x cos? x + 2 cos? x) = 0. Получаем совокупность уравнений
sin x = 0, cos x = 0,
sin? x ? 2 sin? x cos x ? sin x cos? x + 2 cos? x = 0.
Решения первых двух уравнений даны на с. 77. Третье уравнение подробно рассмотрено в примере 1.
Системы тригонометрических уравнений. Предположим, что, преобразовывая систему тригонометрических уравнений, мы пришли к системе
Если переписать эту систему в виде
то, складывая и вычитая полученные уравнения, придем к выводу, что
Решили ли мы систему? Оказывается, нет. Решить систему — значит, найти все ее решения, а из поля нашего зрения выпало такое очевидное решение как x = 3?/2, у = ?/4 (ни при каком целом n из выражения ?/4 + 3n?/2 нельзя получить 3?/4).
В чем же ошибка? Ошибка очень проста: переходя от первоначальной системы к выражениям относительно x + у и x ? у, мы должны были сохранить их «независимость», которая присутствовала в исходной системе. Вместо этого мы «связали» их введением общего целочисленного переменного n.
Правильным было бы такое решение:
откуда
x = ?/4 + (2т + n), у = ? ?/4 ? ?/2 (2т ? n).
Прежде чем приступать к решению задач, ознакомьтесь с введением к главе 9.
Решите уравнения:
13.1. 1 + sin 2x + 2?2 cos 3x sin (x + ?/4) = 2 sin x + 2 cos 3x + cos 2x.
13.2.
13.3.
13.4. tg 2x tg 7x = 1.
13.5.
13.6. 2 tg 3x ? 3 tg 2x = tg? 2x tg 3x.
13.7. sin? x + cos? x + 1/?2 sin 2x sin (x + ?/4) = cos x + sin 3x.
13.8. 4 tg 4x ? 4 tg 3x ? tg 2x = tg 2x tg 3x tg 4x.
13.9. Найдите решения уравнения
лежащие в интервале (0, 2?).
13.10. Решите уравнение
sin (x ? ?) = sin x ? sin ?.
13.11. Найдите решения уравнения
|cos 2x| = |sin? x ? а|
(а — действительное число), удовлетворяющие неравенству
0 ? x ? 2?.
Решите уравнения:
13.12.
13.13. (tg x + sin x)? + (tg x ? sin x)? = 2 tg? x cos x.
13.14. ctg 2x + 3 tg 3x = 2 tg x + 2/sin 4x.
13.15. sec x? + cosec x? + sec x? cosec x? = 1.
13.16.
13.17. 4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tg x.
13.18. cos x = cos? 3x/4.
13.19. sin 4x[2 + ctg x + ctg (?/4 ? x) = 2?2(1 + sin 2x + cos 2x).
13.20. sin 4x sin x ? sin 3x sin 2x = ? cos 3x + (1 + cos x)? .
13.21. sin 4x = m tg x, где m > 0.
13.22. sin x/2 (sin x + sin 2x + ... + sin 100x) = ? sin 101x/2.
13.23. sin? x + sin 2x sin 4x + ... + sin nx sin n?x = 1.
13.24. 4 cos x ? 2 cos 2x ? cos 4x = 1.
13.25.
13.26. sin? x + cos? x = 1.
13.27. cos? 3x + ? cos? x = cos 3x cos4 x.
13.28. При каких значениях а уравнение
1 + sin? ax = cos x
имеет единственное решение?
Решите системы:
13.29.
13.30.
13.31.
13.32.
13.33.
13.34.
13.35.
13.36.
13.37.
13.38.
13.39. Найдите все пары чисел x, у, которые удовлетворяют уравнению
tg4 x + tg4 у + 2 ctg? x ctg? у = 3 + sin? (x + у).
13.40. Решите уравнение
sin? x + ? sin? 3x = sin x sin? 3x.
13.41. Решите уравнение
cos x + cos у ? cos (x + у) = 3/2.
13.42. Найдите все пары чисел а и b, при которых для любых x и у, удовлетворяющих условию x + у = а (где x ? ?/2 + n?, у ? ?/2 + n?, n, m = 0, ±1, ±2, ...), верно равенство tg x + tg у + tg x tg у = b.
13.43. Найдите все пары чисел x и у, которые удовлетворяют уравнению
13.44. Решите уравнение
sin x + 2 sin 2x = 3 + sin 3x.
13.45. Решите уравнение
sin x (cos x/4 ? 2 sin x) + cos x (1 + sin x/4 ? 2 cos x) = 0
13.46. Решите уравнение
13.47. Найдите все значения x, удовлетворяющие одновременно следующим уравнениям:
cos 6х + cos 8х = 0, cos Зх = 2 sin? 2х
при условии, что |x| < 5.
13.48. Решите уравнение
13.49. Решите уравнение
13.50. Решите уравнение
2 tg x + tg x/2 + 4 ctg 2х = ctg Зх.
13.51. Решите уравнение