Глава 12 Тригонометрические преобразования 

Основные тригонометрические формулы.

1. Зависимости между тригонометрическими функциями:

2. Тригонометрические функции суммы и разности аргументов:

sin (x ± у) = sin x cos у ± sin у cos x,

cos (x ± у) = cos x cos у ± sin x sin у,

3. Функции двойного и тройного аргумента:

sin 3х = 3 sin x ? 4 sin? x,     cos 3х = 4 cos? x ? 3 cos x.

4. Формулы понижения степени для синуса и косинуса:

5. Функции половинного аргумента:

6. Преобразование суммы функций в произведение:

7. Преобразование произведения функций в сумму:

sin x cos y = ?[sin (x ? y) + sin (x + y)],

cos x cos y = ?[cos (x ? y) + cos (x + y)],

sin x sin y = ?[cos (x ? y) ? cos (x + y)].

Все формулы нужно уметь читать не только «слева направо», но и «справа налево». Так, например, в записи sin ?/4 cos x ? cos ?/4 sin x нужно узнавать sin (?/4 ? x), а не принимать ошибочно за sin (x ? ?/4), а в записи 

узнавать ctg x/2.

Проверьте себя и напишите, чему равно выражение

 Если вы убеждены в том, что это выражение равно тангенсу половинного угла, обратите внимание на то обстоятельство, что выражение, о котором идет речь, неотрицательно, а тангенс половинного угла — знакопеременная функция. Таким образом,

и не следует писать в этом случае ±tg x. То же самое рассуждение можно провести для любой из приведенных выше формул, где перед корнем стоит ±. Мы ставим ±, чтобы «примирить» выражение, стоящее в левой части, которое может быть отрицательным, с неотрицательным корнем. Поставив ±, мы не получаем двузначную функцию; этот символ говорит лишь о том, что для каждого фиксированного x мы обязаны выбрать определенный знак, в зависимости от того, в какой четверти тригонометрического круга оказывается угол, стоящий под знаком функции в левой части формулы.

12.1. Упростите выражение

12.2. Докажите тождество

tg 2? tg (30° ? ?) + tg 2? tg (60° ? ?) + tg (60° ? ?) tg (30° ? ?) = 1.

12.3. Докажите тождество

12.4. Докажите, что tg (? + ?) = 2 tg ?, если

sin ? cos (? + ?) = sin ? и ? + ? ? ?/2(2n + 1),  ? ? ?/2(2n + 1), .

12.5. Вычислите без таблиц 

cos ?/7 cos 2?/7 cos 4?/7.

12.6. Вычислите без таблиц

tg ?/7 tg 2?/7 tg 3?/7.

12.7. Докажите, что если

 и
 то при аВ + bA ? 0

12.8. Докажите, что если |sin x| = |k sin у|, где ?1 ? k ? 1, то произведение sin (x + у) sin (x ? у) неположительно.

12.9. Докажите, что если sin ? + sin ? = а, cos ? + cos ? = b, то

12.10. Дано

2 tg? ? tg? ? tg? ? + tg? ? tg? ? + tg? ? tg? ? + tg? ? tg? ? = 1.

Вычислите sin? ? + sin? ? + sin? ?.

12.11. Углы ?, ?, ? образуют арифметическую прогрессию с разностью ?/3 . Вычислите

А = tg ? tg ? + tg ? tg ? + tg ? tg ?.

12.12. Сумма трех положительных чисел ?, ? и ? равна ?/2. Вычислите произведение ctg ? ctg ?, если известно, что ctg ?, ctg ? и ctg ? образуют арифметическую прогрессию.

12.13. Вычислите без калькулятора и без таблиц

sin 106° + cos 106° ctg 8°.