K главе 4

4.1. Если ребро куба обозначить через а, то объем фигуры, лежащей под сечением, можно вычислить как разность объемов двух треугольных пирамид: NАFD и МЕFС (рис. I.4.1 на с. 131).

4.2. Площадь сечения удобно вычислять как разность между площадью треугольника AML (см. рис. I.4.2 на с. 131) и удвоенной площадью треугольника KGL.

4.3. Построение сечения показано на рис. II.4.3. Обратите внимание на то обстоятельство, что EС₁ = BF.

4.4. Объемы пирамид, о которых шла речь в конце указания I (см. с. 132), нужно выразить через объем данной пирамиды SABCD. Для этого придется найти отношение их высот и оснований. Сделайте отдельный чертеж плоскости, в которой лежит грань SDC.

4.5. Чтобы сравнить объемы фигур, на которые разбивается сечением вторая половина данной пирамиды, удобно в качестве основания выбрать грань BSC.

4.6. Если продолжить ребра А₁D₁ и А₁B₁ до пересечения с QR и QP соответственно, то можно будет построить след сечения в плоскости верхнего основания куба.

4.7. Обозначить сторону основания через а и выразить площадь сечения через а и высоту боковой грани.

4.8. Нужно доказать, что точка D лежит на отрезке KM (см. рис. I.4.8 на с. 132). Однако сделать это непосредственно трудно. Удобнее изменить построение: EK — высота пирамиды ЕАВС, D — середина AC. Проведем через K и D прямую, которая пересечет AB в точке M. Докажем, что ЕМ — высота в треугольнике АВЕ. (!!)

Если мы убедимся в том, что KSOD — параллелограмм, то отрезок KD параллелен СО и, следовательно, перпендикулярен к AB, откуда ЕМ — высота треугольника АВЕ.

4.9. В сечении получается пятиугольник, в котором отрезок, параллельный АС₁, не является высотой, так как основания параллелепипеда — не квадраты. Высоту нужно вычислить, чтобы найти площадь пятиугольника.

4.10. Докажите, что при вращении точки E тень, отбрасываемая верхним основанием куба, перемещается, оставаясь квадратом со стороной 2h. (!!)

Тень при любом положении источника E состоит из двух квадратов АВСD и А₂В₂С₂D₂, стороны которых параллельны, сторона второго вдвое больше стороны первого, а отрезок, соединяющий центры, имеет постоянную длину R. Чтобы построить из этих квадратов тень, нужно соединить соответствующие вершины квадратов и получить выпуклую фигуру. Задача свелась к плоской.

4.11. Если вместо куба, нижнее основание которого образует с плоскостью ? острый угол ?, оставить фигуру А₁В₁D₁DВС, образованную двумя треугольниками A₁B₁D₁, ВСD и диагональным сечением В₁D₁DB куба, то отбрасываемая на плоскость ? тень не изменится. Остается выразить площадь тени через ребро куба и угол ?.