K главе 7
7.1. Обе двойки представить как 3 ? 1 и сгруппировать члены так, чтобы в числителе можно было вынести за скобки n + 1, а в знаменателе n ? 1.
7.2. Прежде чем выполнять действия в скобках, следует упростить дроби, разложив числители и знаменатели на множители.
7.3. Перед нами сумма из трех слагаемых. Если первые два привести к общему знаменателю, то в числителе произойдут существенные упрощения.
7.4. Прежде чем производить вычитание, следует упростить дробь.
7.5. Если вынести за скобки х2m, то в скобках останется x в степени, содержащей множителями m ? n и 1/mn . Это упростит дальнейшие преобразования. (!)
7.6. Каждое из подкоренных выражений является полным квадратом.
7.7. Обратить внимание на то, что
9 + 4?2 = 8 + 4?2 + 1 = (2?2 + 1)?.
7.8. Каждую из вторых скобок разбить на два слагаемых x? ? u? и z? ? у?, после чего собрать все члены, содержащие множитель x? ? u?, и все члены, содержащие z? ? у?. (!)
7.9. Если обозначить левую часть через z, то, освобождаясь от радикалов, можно получить уравнение относительно z.
7.10. Равенство, которое нужно доказать, представляет собой однородное выражение седьмой степени. Возвести в степень
а + b + с = 0 и а + b = ?с.
7.11. Задача сводится к разбору случаев, позволяющих раскрыть знаки абсолютной величины. Количество рассматриваемых случаев можно уменьшить, если заметить, что равенство, о котором идет речь, не меняется при замене x на ?x.
7.12. Можно разобрать различные случаи взаимного расположения чисел x, у и 0. Однако проще возвести каждую часть в квадрат. Так как обе части неотрицательны, то мы получим равенство, равносильное данному. (!)
7.13. Условие можно записать в виде а? + b? = ?с? и возвести это соотношение в куб.
7.14. Данный трехчлен тождественно равен выражению
(ax + b)? ? (сх + d)?, где а > 0, b > 0, с > 0, d > 0.