Глава 14 Тригонометрические неравенства
14.1. Неравенство равносильно такому:
sin? x > cos? x,
т. е.
cos? x ? sin? x < 0, cos 2x < 0,
откуда
?/2 + 2n? < 2x < 3?/2 + 2n?.
Ответ. ?/4 + n? < x < 3?/4 + n?.
14.2. Перепишем неравенство в виде
1/?2 cos x ? 1/?2 sin x < ?1/?2,
откуда
cos (x + ?/4) < ?1/?2,
т. е.
3?/4 + 2n? < x + ?/4 < 5?/4 + 2n?
Ответ. ?/2 + 2n? < x < ? + 2n?.
14.3. Способ 1. Неравенство sin x < 3 cos x равносильно совокупности трех систем
Решение каждой из них изображено на рис. P. 14.3.
Способ 2. Запишем данное неравенство так:
При использовании этих формул мы исключили из области существования левой части неравенства точки, в которых tg x/2 не существует. Поэтому нужно подставить в исходное неравенство x = ?(2n + 1). Убеждаемся, что
sin ?(2n + 1) ? 3 cos ?(2n + 1) = 3,
т. е. эти точки не являются корнями неравенства.
Приходим к квадратному неравенству
3 tg? x/2 + 2 tg x/2 ? 3 < 0,
откуда
Наиболее компактный ответ получается при решении неравенства первым способом.
Ответ. arctg 3 + ?(2n + 1) < x < arctg 3 + 2?n.
14.4. Поскольку tg x входит в правую часть данного неравенства, замена sin 2x и cos 2x их выражениями через tg x приведет к равносильному неравенству. Обозначив tg x = y, получим
Так как 1 + y? > 0, то это неравенство равносильно такому:
y? + 2y? ? y ? 2 < 0.
Сгруппировав первый член с третьим, а второй с четвертым, разложим левую часть на множители:
(y + 2)(y + 1)(y ? 1) < 0.
Решения этого неравенства будут лежать в интервалах
y < ?2, ?1 < y < 1,
т. е.
tg x < ? 2, ?1 < tg x < 1.
Ответ. ??/2 + n? < x < ?arctg 2 + n?; ??/4 + n? < x < ?/4 + n?.
14.5. Способ 1. Неравенство равносильно совокупности двух систем
Начнем со второго неравенства. При решении обеих систем нам понадобятся радиусы, на которых tg 2x = 0 и tg 2x не существует, так как только в этих точках может произойти перемена знака.
Эти радиусы нанесены на рис. P.14.5, а и б, причем на первом горизонтальной штриховкой заштрихованы те секторы, где tg 2x < 0, а на втором — остальные секторы круга. Остается в первом случае выбрать секторы, в которых cos x ? 0, а во втором — в которых cos x ? 0.
Нанесем решения данного неравенства на общий чертеж (рис. P.14.5, в), после чего можно записать ответ.
Способ 2. Воспользуемся формулой тангенса двойного угла и перепишем неравенство в виде
Формула, которую мы применили, является неабсолютным тождеством, так как в результате ее использования из области определения левой части неравенства исчезают значения x, при которых cos x = 0. Непосредственной подстановкой в исходное неравенство убеждаемся, что x = ?/2 + k? — его корни. Отметив соответствующие радиусы на чертеже (рис. P.14.5, г), можем считать, что cos x ? 0, и решать неравенство
Когда sin x ? 0, то получим tg x < ?1, tg x > 1 (рис. P.14.5, д), а когда sin x ? 0, то ?1 < tg x < 1 (рис. P.14.5, e). Объединяя все решения на одном чертеже (не забывайте про рис. P.14,5, г), запишем окончательный ответ (см. рис. P.14.5, в).
Ответ. ?/4 + 2n? < x < 3?/4 + 2n?; ? + 2n? ? x < 5?/4 + 2n?; 7?/4 + 2n? < x ? 2(n + 1)?; x = (4n ? 1)?/2.
14.6. Выразим все тригонометрические функции через cos x = y. Получим неравенство
2y? + 13y + 5 ? |2y? ? 3y + 1|.
Оно равносильно совокупности систем
или
Так как y = cos x, то ?1 ? y ? 1. Учитывая это ограничение, получим
?? ? y ? ?, y = 1, ? < y < 1,
т. е.
cos x ? ??.
Ответ. ?(2k ? 1) + arccos ? ? x ? ?(2k + 1) ? arccos ?.
14.7. Если cos x = 0, то sin? x = 1 и неравенство не удовлетворяется.
Поделим обе части неравенства на cos? x и обозначим tg x = y. Получим алгебраическое неравенство
?2 y? ? 2y + 2 ? ?2 < 0.
Разделив на ?2, получим неравенство
y? ? ?2 y + ?2 ? 1 < 0,
откуда
?2 ? 1 < tg x < 1.
Из интервалов, в которых лежит x:
arctg (?2 ? 1) + n? < x < ?/4 + n?,
выбираем решения, лежащие в (0, 2?).
Ответ. arctg (?2 ? 1) < x < ?/4; ? + acrtg (?2 ? 1) < x < 5?/4.
14.8. Дискриминант трехчлена равен
(2 cos ? ? 1)? ? 4 cos? ? + 10 cos ? ? 4 = 6 cos ? ? 3.
Чтобы уравнение имело различные действительные корни, нужно потребовать
6 cos ? ? 3 > 0; т. е. cos ? > ?,
откуда 0 ? ? < ?/3 (в условии сказано, что 0 ? ? ? ?).
Свободный член сравним с нулем:
2cos? ? ? 5cos ? + 2 ? 0.
Так как корнями трехчлена 2y? ? 5у + 2 будут числа ? и 2, то свободный член будет положителен при cos ? < ? и отрицателен при cos ? > ?. Мы уже выяснили, что должно иметь место второе неравенство; таким образом, исходное уравнение имеет корни разных знаков.
Поскольку x1 + x2 = 2cos ? ? 1, что при cos ? > ? больше нуля, то положительный корень имеет большую абсолютную величину.
Ответ. Данное уравнение имеет два различных действительных корня при 0 ? ? < ?/3. Эти корни имеют разные знаки, причем положительный корень больше по абсолютной величине.
14.9. Если sin x ? 0 и cos x ? 0, то данное неравенство равносильно такому:
Так как при sin x ? 0 и cos x ? 0 имеем
sin x + cos x ? 1,
а при sin x > 0 и cos x > 0 это неравенство становится строгим, то отсюда следует, что неравенство (1) равносильно системе
Ответ. 2n? < x < ?/2 + 2n?.
14.10. Данное неравенство означает, что
?/4 + k? ? 1/1 + x? < ?/2 + k?.
Если k > 0, то левое неравенство не имеет решений, поскольку 1/1 + x? не превосходит единицы. Если k < 0, то не имеет решений правое неравенство, так как 1/1 + x? — величина, положительная при всех x. Остается случай k = 0. При k = 0 правое неравенство удовлетворяется всегда. Решим левое неравенство.
Ответ.
14.11. Так как sin x + cos x = ?2 cos (x ? ?/4), то, обозначив cos (?/4 ? x) = y, получим неравенство
Это неравенство равносильно такому:
Так как y не превосходит 1, то 2 ? y > 0. Поэтому y > ?.
Решением неравенства cos (?/4 ? x) > ? будут значения x ? ?/4, лежащие между 2k? ? arccos ? < x < 2k? + arccos ?.
Ответ. 2k? + ?/4 ? arccos ? < x < 2k? + ?/4 + arccos ?.
14.12. Перепишем неравенство в виде
Преобразуем знаменатель
cos x cos 3x = ?(cos 2x + cos 4x) = ?(cos 2x + 2 cos? 2x ? 1)
и введем обозначение cos 2 x = y. Получим
откуда y < ?1, 0 < y < ? и, наконец, 0 < cos 2x < ?.
Ответ: ??/4 + n? < x < ??/6 + n?; ?/6 + n? < x < /4 + n?.
14.13. Пусть y = cos x, где |y| ? 1. Выражение 17/7 ? cos x всегда положительно. Поэтому обе части данного неравенства можно возвести в квадрат; получим равносильное неравенство
Когда правая часть отрицательна, придем к системе
решением которой будут значения y > 5/14·
Когда правая часть неотрицательна, то получим другую систему
Второе неравенство этой системы можно переписать в виде
2 · 49у? ? 7 · 27у + 25 < 0,
откуда
1/7 < y < 25/14, т. е. y > 1/7, так как y = cos x.
Решения всей системы будут лежать в интервале
1/7 < y ? 5/14
Объединяя его с интервалом y > 5/14, получим y > 1/7·
Ответ. ?arccos 1/7 + 2n? < x < arccos 1/7 + 2n?.
14.14. Выразим sin x и cos x через tg x/2 и обозначим tg x/2 = y. Придем к неравенству
которое равносильно исходному. В самом деле, замена sin x и cos x их выражениями через tg x/2 может привести к потере решений, так как tg x/2 перестает существовать в тех точках, в которых sin x и cos x существуют Однако tg x/2 входит в первоначальное неравенство, а потому эти точки исключены с самого начала. Сокращение числителя и знаменателя на y? + 1, очевидно, не приводит ни к потере, ни к приобретению корней, так как y? + 1 ? 0 и y не исчез полностью из неравенства.
Неравенство относительно y перепишем в виде
После разложения левой части на множители получим
откуда
Находим интервалы изменения x:
Остается выделить решения, лежащие в интервале 0 < x < ?.
Ответ.
14.15. Выразив sin 3? и cos 2? через sin ? и обозначив sin ? = y, получим
4(3y ? 4у?) + 5 ? 4 ? 8у? + 5у,
или
16у? ? 8у? ? 7у ? 1 ? 0.
Нетрудно заметить, что y = 1 — корень многочлена, стоящего в левой части неравенства. Теперь можно разложить этот многочлен на множители:
16у? ? 8у? ? 7у ? 1 = (y ? 1)(4у + 1)?.
Так как y = sin ?, то y ? 1 ? 0, а следовательно, и многочлен 16у? ? 8у? ? 7y ? 1 неположителен, что доказывает неравенство.
14.16. Значения x = ?k, при которых sin x = 0, являются решениями неравенства при всех а > 0. На множестве остальных точек данное неравенство равносильно такому:
Так как
(сокращение на sin x правомерно, так как рассматриваются точки, в которых sin x ? 0), то приходим к неравенству:
(1 + 2cos 2x)? ? а?.
Так как а > 0, то это неравенство распадается на два:
1 + 2cos 2x ? ?а, 1 + 2cos 2x ? а,
т. е.
cos 2x ? ?a + 1/2, cos 2x ? a ? 1/2.
Первое имеет решения при ? a + 1/2 ? ?1, а второе — при a ? 1/2 ? 1 или соответственно а ? 1 и а ? 3.
Найдем решение неравенства cos 2x ? ?a + 1/2. Так как а > 0, то правая часть неравенства отрицательна и при а < 1 ему будут удовлетворять углы 2x, подвижные радиусы которых лежат в секторе, расположенном во второй и третьей четвертях симметрично горизонтальной оси (сделайте рисунок самостоятельно), т. е.
arccos (?a + 1/2) + 2?k ? 2x ? ?arccos (?a + 1/2) + 2? + 2?k.
Так как arccos (?y) = ? ? arccos y, то
? ? arccos a + 1/2 + 2?k ? 2x ? arccos a + 1/2 ? ? + 2? + 2?k.
Результат окончательных преобразований дан в ответе.
Ответ. При любом а > 0 y неравенства есть решения x = ?k; при 0 < а ? 3 появляется вторая серия решений:
?? arccos a ? 1/2 + ?k ? x ? ? arccos a ? 1/2 + ?k;
при 0 < а ? 1 — третья серия:
?? arccos a + 1/2 + ?/2(2k + 1) ? x ? ? arccos a + 1/2 + ?/2(2k + 1).
14.17. Обозначим cos t = z и преобразуем условие задачи в неравенство
2z? + (2 cos x cos y)z + ? cos? x cos? y + cos x ? cos y > 0,
которое должно удовлетворяться при всех ?1 ? z ? 1. Парабола, соответствующая трехчлену, стоящему в левой части неравенства, имеет абсциссу
z0 = ?? cos x cos y.
Следовательно, ?1 < z0 < 1. Таким образом, условие задачи равносильно требованию, чтобы ордината этой вершины была положительна, что в свою очередь сводится к требованию отрицательности дискриминанта:
D = cos? x cos? y ? cos? x cos? y ? 2(cos x ? cos y) < 0,
т. е.
cos x ? cos y > 0, sin x + y/2 sin y ? x/2 > 0. (2)
Нанесем на график точки, в которых
sin x + y/2 sin y ? x/2 = 0.
Это будет совокупность прямых
x + y = 2?k, y ? x = 2?n,
параллельных биссектрисам первого и второго координатных углов (рис. P.14.17), пересекающих оси координат в точках, координаты которых кратны 2?. Сами эти прямые не удовлетворяют неравенству (2), однако они разбивают всю плоскость на квадраты, внутри каждого из которых произведение sin y + x/2 sin y ? x/2 сохраняет постоянный знак.
Рассмотрим квадрат ОАВС, примыкающий к началу координат снизу. Для всех внутренних точек этого квадрата
sin y + x/2 < 0 и sin y ? x/2 < 0,
т. е. неравенство (2) удовлетворяется. При переходе через границу квадрата в любой точке, кроме вершины, произойдет смена знака одного из сомножителей. При переходе же через вершину знак поменяется дважды. Таким образом, вся плоскость окажется разбитой на области, расположенные в шахматном порядке. Те области, в которых неравенство (2) удовлетворяется, заштрихованы.
Ответ.