Глава 11 Логарифмические и показательные уравнения и системы

11.1.

11.2. Так как 1225 = 35?, то

lg 122,5 = lg 35? ? lg 10 = 2(lg 5 + lg 7) ? 1 = 2(а + b) ? 1.

11.3. Перепишем уравнение в виде

т. е. после того как вынесем 3^{2x ? 1} и 2^{x + ?} за скобки,

Из последнего уравнения следует, что

3^{2x ? 3} = (?2)^{2x ? 3},

т. е. (³/_?2)^2x ? 3 = 1, откуда 2x ? 3 = 0.

Ответ. x = ³/₂.

11.4. Обозначив 3^{?|x ? 2|} = y, придем к квадратному уравнению

y? ? 4y ? а = 0,

корни которого

Первый корень

Исследуем второй корень:

Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение трех условий, которые сведены в систему неравенств:

Решая эту систему, найдем ?3 ? а < 0.

Ответ. При ?3 ? а < 0 два решения:

при остальных а решений нет.

11.5. Решая квадратное уравнение относительно 12^|x|, найдем

Первое ограничение: 1 ? а ? 0, т. е. а ? 1. Кроме того, 12^|x| не может стать меньше единицы. Если перед корнем выбран знак плюс, то последнее требование выполняется, если же взят знак минус, то

Ответ.

11.6. Уравнение можно записать так:

или

Прологарифмируем по основанию 10

откуда x₁ = 2, x₂ = ?¹/_{lg 5}.

Ответ. 2, ?¹/_{lg 5}.

11.7. Так как (2 + ?3)(2 ? ?3) = 1, то 2 + ?3 и 2 ? ?3 — взаимно обратные числа. Обозначим

(2 + ?3)^{x? ? 2x} = y.

Тогда данное уравнение можно записать так:

y + ¹/_y = ¹⁰¹/₁₀

(мы разделили обе части уравнения на 2 + ?3).

Решая это уравнение, найдем

y₁ = ¹/₁₀, y₂ = 10.

Покажем, что первый корень, который приводит к уравнению

(2 + ?3)^{x? ? 2x} = ¹/₁₀,

посторонний.

Так как 2 + ?3 > 1, то x? ? 2x < 0. Выражение x? ? 2x достигает своего минимума в точке x = 1. Этот минимум равен ?1. Поскольку 2+ ?3 < 4, то в левой части последнего уравнения стоит число, большее ?, а следовательно, ни при каких x не равное ¹/₁₀.

Остается решить уравнение

(2 + ?3)^{x? ? 2x} = 10.

Прологарифмируем его по основанию 2 + ?3:

x? ? 2x ? log_{2 + ?3} 10 = 0.

Ответ.

11.8. Перепишем уравнение так:

Сразу же видно, что x = 2 — корень уравнения. Покажем, что других корней нет.

Обозначим для удобства первое основание через а, а второе через b. Оба этих основания меньше единицы. Поэтому

b < а < 1;

если x < 2, то а^x > а?, b^x > b?, и следовательно,

а^x + b^x > 1;

если же x > 2, то а^x < а?, b^x < b?, и следовательно, а^x + b^x < 1.

Ответ. x = 2.

11.9. Если x ? 2 ? 0, 1, ?1, то log₂ (x + 31) = 3, x = ?23. При x = 2 = 0, т. е. x = 2, имеем

При x ? 2 = 1, т. е. x = 3, уравнение также удовлетворяется.

Если x ? 2 = ?1, т. е. x = 1, имеем

Остается проверить значение x = ?23. Тогда log₂ 8 = 3, и уравнение снова удовлетворяется.

Ответ. ?23, 1, 2, 3.

11.10. Так как log₃ (3^{x + 1} ? 3) = 1 + log₃ (3^x ? 1), то, обозначив log₃ (3^x ? 1) через y, получим

y? + y ? 6 = 0,

откуда y₁ = ?3, y₂ = 2.

Если log₃ (3^x ? 1) = ?3, то 3^x = ²⁸/₂₇ и x₁ = log₃ 28 ? 3. Если log₃ (3^x ? 1) = 2, то 3^x = 10 и x₂ = log₃ 10.

Ответ. log₃ 28 ? 3, log₃ 10.

11.11. Перепишем уравнение в виде

log₇ x + log_x 7 = log?₇ x + log?_x 7 ? ⁷/₄.

Дополним правую часть его до полного квадрата суммы (заметим, что log₇ x · log_x 7 = 1) и обозначим

log₇ x + log_x 7 = y.

Получим уравнение:

4у? ? 4у ? 15 = 0, откуда у₁ = ⁵/₂, y₂ = ?³/₂.

Если log_x 7 + log₇ x = ⁵/₂, то

Если же log_x 7 + log₇ x = ?³/₂, то получим уравнение

y которого нет действительных корней.

Ответ. x₁ = 49, x₂ = ?7.

11.12. Прологарифмируем по основанию 3 и перейдем к общему основанию логарифмов:

откуда следует уравнение

y? ? 2y + 1 = 0,

где y = log₃ x.

Так как у? ? 2y + 1 = (y ? 1)(y? + y ? 1), то

y₁ = 1, y_2,3 = ^{?1 ± ?5}/₂.

Находим соответствующие x и проверяем их.

Ответ. x₁ = 3, x_2,3 = 3.

11.13. Если

y = log_х 3,

то придем к уравнению

из которого получается цепочка следствий

Проверкой убеждаемся, что второе значение y не удовлетворяет исходному уравнению, так как y должен быть отрицательным.

Ответ. x = ¹/₉.

11.14. Приведя уравнение к общему знаменателю и отбросив его, получим следствие данного уравнения:

log₄ x + log₄(10 ? x) = 2,

откуда

x? ? 10x + 16 = 0, x₁ = 2, x₂ = 8.

Проверкой убеждаемся, что это — корни исходного уравнения.

Ответ. x₁ = 2, x₂ = 8.

11.15. Перепишем данное уравнение так:

При этом преобразовании мы могли потерять корень, так как при x = 1 левая часть полученного уравнения теряет смысл, в то время как обе части исходного уравнения существуют. Проверкой убеждаемся, что x = 1 — корень данного уравнения[21].

Преобразуем выражения, стоящие в знаменателях и обозначим log_x 2 = y:

¹/_{1 ? y} ? ²¹/_{4y + 1} + ¹⁰/_{2y + 1} = 0.

Это уравнение равносильно системе

При y = ?2 и y = ?, являющихся корнями уравнения, условие, входящее в систему, удовлетворяется.

Ответ. x₁ = 1, x₂ = ¹/_?2, x₃ = 4.

11.16. Перепишем уравнение в виде

Так как

то придем к уравнению

log₂ 6 ? log₂ (4 ? x) = log₂ (3 + x),

откуда

х? ? x ? 6 = 0, x₁ = ?2, x₂ = 3.

Все применявшиеся преобразования приводили к следствию исходного уравнения. Первый корень при проверке отбрасываем, так как

Ответ. x = 3.

11.17. Уравнение равносильно системе

или

Решим уравнение, после чего проверим, выполняются ли наши ограничения. Уравнение распадается на два. Если

x⁴ + 2x? + 2x ? 1 = (х? + x ? 1)?,

то, раскрывая скобки, получим

х? + 4x ? 2 = 0, x_1,2 = ?2 ± ?6.

Если же

x⁴ + 2x? + 2x ? 1 = ?(х? + x ? 1)?,

то

x?(2x? + 4x ? 1) = 0; x₃ = 0, x_4,5 = ^{?2 ± ?6}/₂.

Остается проверить выполнение двух условий, входящих в последнюю систему. Лишь при x = 0 нарушается условие |х? + x ? 1| ? 1. При остальных найденных значениях x оба условия выполняются.

Ответ. x_1,2 = ?2 ± ?6; x_3,4 = ^{?2 ± ?6}/₂.

11.18. Преобразуем первое слагаемое:

При переходе к логарифмам с основанием а мы наложили на а дополнительное ограничение: а ? 1. Однако при а = 1 данное нам уравнение не имеет решений, и, следовательно, такое ограничение несущественно. При замене 

Мы получили уравнение относительно

y? ? 5у + 6 = 0; y₁ = 2, y₂ = 3,

откуда

Ответ. При

11.19. Логарифмируя и заменяя log_x а на

т. е.

Отсюда видно, что если x удовлетворяет этому уравнению, то log_a x > 0, а потому log_a x + 1 > 0. Следовательно,

Чтобы разбирать меньшее количество различных случаев, оценим левую часть последнего уравнения и, следовательно, а. Так как

а второе слагаемое неотрицательно, то а > 1 (значение а = 1 мы исключили, так как а — основание логарифма). Остается рассмотреть случаи, позволяющие раскрыть символ абсолютной величины.

При log_a x ? 1, т. е. при x ? а > 1, получим уравнение

Так как а > 1, то x > а.

При 0 < log_a x < 1, т. е. при x < а, получим второе значение неизвестного:

которое будет меньше а, так как а > 1.

Ответ. При

11.20. Если одно из неизвестных равно нулю, то в силу второго уравнения системы равно нулю и второе неизвестное. Это приводит к потере смысла в первом уравнении. Таким образом, x и y оба положительны.

Прологарифмируем оба уравнения:

Так как x > 0 и y > 0, то разделим первое уравнение на второе:

а потому

Подставим найденное значение x в первое из данных уравнений:

Если y = 1, то из первого уравнения системы получаем x = 1, что не удовлетворяет второму уравнению.

Так как значения y = 0 и y = ?1 исключены, то остается

Вспомнив, что log₃ 15 = 1 + log₃ 5, получим

и найдем x.

Ответ.

11.21. Возведем второе уравнение в степень y

1024 = (^2x/₃)^2y

и воспользуемся тем, что x^y = 243. Так как 1024 = 2¹⁰, а 243 = 3⁵, то получим

2¹⁰ = (?)^2y · 3¹⁰, откуда (?)¹⁰ = (?)^2y

и y = 5. Из первого уравнения находим x = 3.

Делаем проверку и убеждаемся, что мы нашли решение системы.

Ответ. (3, 5).

11.22. Из самого вида системы следует, что x > 0, y > 0. Из второго уравнения имеем

а после подстановки в первое

Если y ? 1 (случаи y = 0 и y = ?1 уже исключены), то, приравнивая показатели степеней, получим

Подставляя в первое уравнение, найдем

откуда получаем x₁ = ¹⁶/₈₁, у₁ = ⁴/₉. Проверкой убеждаемся, что это — решение исходной системы.

Остается проверить, что произойдет при y = 1. Легко видеть, что тогда и x = 1.

Ответ. (¹⁶/₈₁, ⁴/₉), (1, 1).

11.23. Так как

то

Подставив в первое уравнение исходной системы и обозначив

(21 ? 2u)(16 ? u) ? 2u? = 71,

а после раскрытия скобок

u = 5, т. е. y = 2.

Остальные неизвестные находятся легко.

Ответ. (2, 2, 1).

11.24. Второе уравнение можно записать в виде

2^{x + 2у} (x · 2^{x ? y + 1} + 3y · 2^{2x + y}) = 1.

В силу первого уравнения системы выражение в скобках равно 2. Поэтому

2^{x + 2у + 1} = 1,

откуда

x + 2y + 1 = 0, т. е. x = ?2y ? 1.

После подстановки в первое уравнение системы получим

2^{?3y ? 3} = ¹/_{?4 ? 5y}, или 2^{3(y + 1)} = ?(4 + 5y).

Чтобы это уравнение имело решение, необходимо выполнение неравенства

?(4 + 5у) > 0, т. е. y < ?⁴/₅.

Рассмотрим следующие три случая.

1. 3(y + 1) < 0, т. е. y < ?1. В этом случае правая часть уравнения должна быть меньше единицы, т. е. ?(4 + 5у) < 1, откуда y > ?1. Поскольку ограничения y < ?1 и y > ?1 несовместны, при сделанном предположении нет решений.

2. 3(y + 1) > 0, т. е. y > ?1. Тогда правая часть уравнения должна превзойти единицу, а потому y < ?1. И на этот раз ограничения несовместны.

3. Остается посмотреть, что будет при 3(y + 1) = 0, т. е. y = ?1. Легко проверить, что уравнение удовлетворяется. Найденному значению y соответствует x = 1. Проверкой убеждаемся, что мы нашли решение исходной системы.

Ответ. (1, ?1).

11.25. Первое уравнение системы можно переписать в виде

log₈ (y ? x)? = log₈ (3y ? 5х).

Следствием данной системы является система

Перемножив входящие в нее уравнения, получим однородное уравнение относительно x и y:

5(y ? x)? = (3y ? 5х)(х? + y?).

Если x ? 0, то разделим последнее уравнение почленно на x? и обозначим ^y/_x = u. Получим уравнение относительно u:

u? ? 5u? + 6u = 0,

которое имеет корни: u₁ = 0, u₂ = 2, u₃ = 3.

Если u = 0, то y = 0, а из второго уравнения исходной системы x = ±?5.

При подстановке в первое уравнение исходной системы x = ??5 и y = 0 это уравнение удовлетворяется, а при x = ?5 и y = 0 уравнение не удовлетворяется. Если u = 3, то y = 3x, а потому x? = ?, откуда

x =±¹/_?2, y = ±³/_?2

(x и y в силу равенства y = 3x имеют одинаковые знаки). Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что решением системы будут

x = ¹/_?2, y = ³/_?2.

Если u = 2, то y = 2x. Из двух систем значений (?1, ?2), (1, 2) первому уравнению удовлетворяет только вторая.

Осталось рассмотреть случай x = 0. Он не дает новых решений, так как система превращается в два несовместных уравнения.

Ответ. (??5, 0); (¹/_?2, ³/_?2); (1, 2).

11.26. Способ 1. Из второго уравнения

Подставляем в первое:

Так как

то получим уравнение

Прологарифмируем по основанию 3:

3log₃? x ? 8log₃ x + 4 = 0,

откуда x₁ = 3^?, x₂ = 9.

Находим соответствующие y и делаем проверку.

Способ 2. Применим равенство 

т. е.

Прологарифмировав по основанию 3, решим полученное уравнение совместно со вторым уравнением системы:

Ответ.

11.27. Так как x и y одного знака (это следует из второго уравнения) и x + y > 0 (из первого), то x и y положительны, причем либо x, либо y обязательно больше 1 (так как xy = 3). Следовательно, x + y > 1 и данная система может быть переписана так:

Если 0 < x ? y < 1, то получим систему

следствием которой является система

Из первого уравнения получим 7 x = 9y. Подставляя сюда y = ³/_x, найдем x? = ²⁷/₇, откуда

Убеждаемся, что при этих значениях x и y неравенство 0 < x ? y < 1 выполняется.

Если x ? y > 1, то получим систему

следствием которой является система

Подставляя в первое уравнение y = ³/_x, получим уравнение

x⁴ ? 8x? ? 9 = 0.

Так как x? ? ?1, то остается x? = 9, откуда x = 3, а y = 1. (Ограничение x ? y > 1 удовлетворяется.)

Равносильность могла быть нарушена только при потенцировании; поэтому достаточно проверить, что x ? y > 0, что уже сделано.

Ответ.

11.28. Прологарифмируем и обозначим log₂ x = u, log₂ (y + 1) = u:

откуда

Находим соответствующие x и y; проверка не обязательна, так как равносильность не была нарушена.

Ответ. (?2, 15); (2, 3).

11.29. Так как log_a? x = ? log_a x (обратите внимание на то, почему мы не пишем здесь log_|a| x), а log_?b ?y = log_b y, то систему можно переписать следующим образом:

Это — следствие первоначальной системы; если же добавить условия y > 0, b > 0, b ? 1, то получим равносильную систему.

Из первого уравнения

Подставляем во второе и находим

Условие

Ответ. При 0 < а < 1, 1 < а < 8 и при b > 0, b ? 1 

11.30. Пусть 3^{x + 1} = u, 3^{y + z ? x} = v, тогда первые два уравнения примут вид

откуда u = 9, v = 9. Следовательно, x = 1, а y + z ? x = 2, т. е. y + z = 3. Последнее уравнение данной системы примет теперь простой вид

lg уz = lg 2,

следствием которого будет

уz = 2.

Решаем систему

Проверкой убеждаемся, что мы нашли решения исходной системы уравнений.

Ответ. (1, 1, 2); (1, 2, 1).