Глава 8 Делимость многочленов. Теорема Безу. Целые уравнения

Многочлен S(x) называется частным, а многочлен R(x) — остатком от деления многочлена P(x) на многочлен Q(x), если равенство

P(x) = Q(x) · S(x) + R(x)

является тождеством и степень многочлена R(x) меньше степени многочлена Q(x).

Обобщенная теорема Виета. Для корней х₁, х₂, ..., х_n уравнения

а₀хⁿ + a₁x^{n ? 1} + ... + а_{n ? 1}x + а_n = 0

имеют место формулы:

Для уравнения a₀xⁿ + a₁x^{n ? 1} + ... + а_n = 0 с целыми коэффициентами а₀, а₁, ... , а_n верна теорема: если уравнение имеет рациональный корень ^p/_q , то p числитель является делителем свободного члена а_n, а знаменатель q — делителем коэффициента а₀.

В частности, если а₀ = 1, то уравнение может иметь только такие целые корни, которые являются делителями свободного члена а_n.

8.1. Решите уравнение

(x ? 4,5)⁴ + (x ? 5,5)⁴ = 1.

8.2. Решите уравнение

(4x + 1)(12x ? 1)(3x + 2)(x + 1) = 4.

8.3. Докажите, что уравнение

x? ? 3у? = 17

не имеет решений в целых числах.

8.4. Найдите все целые решения уравнения

x? ? 6xу + 13у? = 100.

8.5. Найдите остаток от деления многочлена x⁹⁹ + x? + 10x + 5 на многочлен x? + 1.

8.6. Найдите все целочисленные решения уравнения

2x?у? + у? ? 6x? ? 12 = 0.

8.7. В уравнении

x⁴ + аx? + bx? + 6x + 2 = 0

один из корней равен ?3 + 1. Найдите остальные корни уравнения, если а и b — рациональные числа.

8.8. При каких значениях а оба корня уравнения

x? ? (а + 1)x + а + 4 = 0

отрицательны?

8.9. Найдите соотношение между а, b и с, если корни уравнения

x? + аx? + bx + с = 0

образуют геометрическую прогрессию.

8.10. Известно, что уравнение x? + px + q = 0 имеет корни ?₁, ?₂, ?₃. Выразите сумму ?₁? + ?₂? + ?₃? через p и q.

8.11. При каких а и ? трехчлен х? + ax + 1 делится на двучлен x ? ? без остатка и частное от деления при всех x больше нуля?

8.12. Остатки от деления многочлена относительно x на x ? 2 и x ? 3 равны соответственно 5 и 7. Найдите остаток от деления этого многочлена на (x ? 2)(x ? 3).

8.13. Найдите все действительные значения p и q, при которых х⁴ + 1 делится на x? + рх + q.

8.14. Докажите, что многочлен

x?^{n + 1} ? (2n + 1)х^{n + 1} + (2n + 1)хⁿ ? 1,

где n — натуральное число, делится на (x ? 1)?.

8.15. Определите p и q так, чтобы многочлен

6х⁴ ? 7х? + рх? + 3х + 2

делился без остатка на x? ? x + q.