Почему 3 × 7 равно 7 × 3

Помогая ребенку выучить таблицу умножения, очень важно объяснить ему, что порядок чисел не имеет значения: 3 ? 7 дает тот же ответ, что и 7 ? 3. Математикам эта мысль так нравится, что они придумали для нее особое название: коммутативный закон.

Взрослым серьезнейшая идея о том, что умножению свойственна коммутативность, обычно кажется самоочевидной. С детьми все по-другому. Нужно немало времени, чтобы эта идея закрепилась в сознании мальчика или девочки, – ведь при знакомстве с умножением это его качество, как правило, явно не проявляется. Если у Джо есть три пакетика с конфетами, в каждом из которых лежит по семь конфет, а у Сэма – семь пакетиков с тремя конфетами в каждом, не слишком очевидно, что у Джо ровно столько же конфет, сколько и у Сэма. (Если предложить маленькому ребенку два этих варианта, он с большой вероятностью выберет семь пакетиков в надежде получить больше конфет.)

Один из лучших способов наглядно показать ребенку, почему 3 ? 7 равно 7 ? 3, заключается в использовании массива. «Массив» – слово, которого вы, вероятно, не встречали в курсе школьной математики, но сегодня оно прочно вошло в соответствующий лексикон и активно используется. Это специальное математическое слово, обозначающее набор чисел или фигур, заключенный в прямоугольник. Вот, к примеру, массив из трех строк и семи столбцов.

Массив – чрезвычайно важное понятие, это простое и визуальное средство помочь ребенку разобраться в том, как работают умножение и дроби. Сколько всего точек в прямоугольнике 3 на 7? Три строки по семь элементов насчитывают 21 элемент. Иными словами, массивы – доступный для понимания способ наглядно представить умножение, в данном случае 3 ? 7 = 21.

Что, если мы нарисуем массив двумя разными способами?

Первый массив показывает 3 ? 7, второй 7 ? 3. (Традиционно эти схемы «читаются» в таком порядке: строки, затем столбцы.) Очевидно, что в обоих массивах должно быть одинаковое число точек (их не обязательно при этом считать поштучно), поскольку, если первый массив повернуть на четверть оборота, он будет выглядеть в точности как второй. Иными словами, 3 ? 7 = 7 ? 3.

И в самом деле, каким бы ни был массив (или какие бы числа вы ни перемножали), ответ будет один и тот же, с какой стороны ни посмотри. 247 ? 196 – то же самое, что 196 ? 247, и чтобы в этом убедиться, достаточно вспомнить о массивах.

Короткий совет

Оглядитесь, поищите рядом, в доме или на улице, какие-нибудь массивы. Покажите их своему ребенку, поговорите о них. Взгляните, к примеру, на пластиковый подносик с пирожными в коробке. Пирожные на нем уложены в массив 4 на 3. А если повернуть? Тогда 3 на 4. А теперь взгляните на окна многоэтажки. Вот это да, это тоже массив, 5 на 4! А может быть, 4 на 5, как посмотреть? Этого мало. Стоит начать обращать внимание на массивы, как выяснится, что они всюду.