Что могут степени

Сколько песчинок понадобится, чтобы заполнить песком всю наблюдаемую Вселенную? Глупый вопрос, ведь такого количества песчинок, чтобы заполнить Вселенную, просто не существует (откуда бы взялся весь этот песок?), но дети обожают глупые вопросы. А у этого к тому же есть ответ, который тоже звучит глупо: для этого потребовался бы миллион миллиардов миллиардов триллионов квадриллионов пентиллионов гекстиллионов песчинок… умноженный на три! Или, если записать это привычным способом как три с 90 нулями:

3 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Это длинное число, и писать его утомительно, но математики, к счастью, придумали для него более короткий способ записи. Данное гигантское число можно записать так: 3 ? 1090. Число 90, записанное вверху маленькими цифрами, называется показателем степени, или экспонентой, а еще иногда его называют (осторожно, сейчас появится страшное слово) логарифмом (по основанию 10).

Большинство родителей припомнят, что слышали что-то о логарифмах в школе, но вряд ли они смогут сколько-нибудь подробно рассказать о том, как те устроены и работают. В лучшем случае мамы и папы скажут, что такое и как выглядят логарифмы. Но на самом деле идеи, которые стоят за этим понятием, вполне можно донести до десятилетнего ребенка.

Для начала напомните сыну или дочери о том, что площадь квадрата со стороной 10 равна 10 ? 10, или «10 в квадрате». Кратко это можно записать как 102 (что имеет смысл, поскольку число 10 в полной записи повторяется дважды).

Поэтому не удивительно и понятно с точки зрения здравого смысла, что 10 ? 10 ? 10 записывается как 103.

А теперь зададимся вопросом: сколько будет 102 ? 103? Если расписать это подробно, получится 10 ? 10 ? 10 ?10 ? 10, или 100 000, но в краткой записи это будет 105. Вы заметили, что маленькие числа в обоих сомножителях (3 и 2) просто сложились и дали такое же маленькое число 5 в ответе?

Всегда ли работает такое сложение? Чему, как вы полагаете, равно 102 ? 104? Если правило сложения работает, то в ответе должно получиться 106, поскольку 2 + 4 = 6 – и быстрая проверка показывает, что это верный ответ (100 ? 10 000 = 1 000 000, или миллион).

Таким образом, при помощи логарифмов можно без труда превратить умножение в сложение. И это работает при любом основании. То есть 32 ? 34 = 36 (2 + 4 = 6). Если записать полностью, то получится, что мы 3 ? 3 (9) умножаем на 3 ? 3 ? 3 ? 3 (81), и получается 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 (729). Это оказывается весьма полезным, когда числа становятся слишком большими для калькулятора. Так что теперь вы можете уверенно сказать, что 179 ? 174 равно 1713, хотя при попытке проверить это утверждение при помощи электроники вы, вероятно, получите лишь сообщение об ошибке.

Далее. Если ваш ребенок готов признать, что такое правило сложения – штука хорошая и удобная и что правило это, судя по всему, работает всегда, вы можете воспользоваться ситуацией и расширить идею о применении степеней. Что такое 30? Большинство детей (да и большинство взрослых), скорее всего, скажет, что это нуль, но если вы усвоили, что правило сложения работает всегда, то 30 должно равняться 1. Почему? Посмотрите, скажем, на пример 30 ? 32. Согласно правилу сложения степеней 0 + 2 = 2, так что ответ должен равняться 32 или, иными словами, 30 ? 9 = 9… что означает, что 30 должно равняться 1. Более того, по этому правилу любое число в нулевой степени равняется 1!

Здесь не обойтись без некоторого осмысления, поэтому стоит остановиться и дать мальчику или девочке время освоиться с новыми идеями. Но на всякий случай – если вам или вашему ребенку не терпится двигаться дальше – добавим, что правило сложения степеней работает также для дробей и отрицательных чисел. К примеру, 101/2 – это квадратный корень из 10 (примерно 3,16), потому что 101/2 ? 101/2 = 101. А что с отрицательными числами? 10–1 равно 0,1, или одной десятой, потому что 10–1 ? 101 = 100 = 1. Очень хорошо, хватит!!!

Все это весьма серьезные идеи, и вполне возможно, что для многих ребят некоторые из них окажутся слишком серьезными. Но не забывайте, что очень большие числа, как правило, завораживают детей. Тот факт, что для записи числа, при помощи которого можно выразить размер Вселенной, достаточно всего трех или четырех цифр (к примеру, 1091), – интересная математическая загадка, которой имеет смысл поделиться.