Образцовое решение

Нам необходимо найти другой подход к решению этой задачи. Попробуем возводить 8 в последовательно увеличивающуюся степень и посмотрим, нет ли какой полезной закономерности в появлении последних цифр.

Обратите внимание на проявившуюся закономерность — цифра в разряде единиц повторяется при увеличении степени с шагом, равным четырем. По всей видимости, мы можем использовать эту закономерность при решении нашей задачи. Интересующая нас степень равна 19. При делении на 4 она дает остаток 3. Таким образом, последняя цифра числа 8¹⁹ должна быть такой же, как и у 8¹⁵, 8¹¹, 8⁷ и 8³, т. е. 2.

Для скептиков приведем фактическое значение 8¹⁹ = 144 115 188 075 855 872.

Аналогичным образом проанализируем значения, получаемые при возведении 7 в последовательно увеличивающуюся степень, и попробуем отыскать закономерность.

В соответствии с этой закономерностью при делении показателя 197 на 4 мы получаем остаток, равный 1. Это означает, что последняя цифра числа 7¹⁹⁷ должна быть такой же, как и у 7¹, т. е. 7. При наличии времени вы можете возвести 7 в степень 197 и проверить этот ответ. У вас должно получиться: