МАТРИЦА

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел.

Располагать те или иные данные в виде прямоугольных таблиц приходится довольно часто. Например, если три завода выпускают пять различных видов продукции, то отчет о производстве за год может быть дан в виде таблицы

,

где x_ij – количество продукции j-го вида, выпущенное i-м заводом в течение этого года. Кратко будем обозначать эту таблицу X = (x_ij) и назовем ее прямоугольной матрицей с тремя строками и пятью столбцами. Аналогично определяется понятие прямоугольной матрицы с m строками и n столбцами (или, короче, (m×n)-матрицы). При m=n такую матрицу называют квадратной, а число n - порядком этой матрицы.

Если ассортимент продукции не изменился в течение следующего года, то отчет о производстве за второй год тоже имеет вид матрицы Y = (y_ij). Но тогда выпуск продукции за два года выражается матрицей X + Y = (x_ij + y_ij). Вообще, при сложении двух (m×n)-матриц складываются соответствующие элементы этих матриц. Если же в течение второго года производство каждого вида продукции на каждом заводе увеличилось на 20%, то для любых i,j верно равенство y_ij=1,2·x_ij. В этом случае пишут Y = 1,2X. Чтобы умножить матрицу X на число λ, надо умножить на это число каждый элемент матрицы.

Выпуск продукции можно выражать не только в штуках, метрах или тоннах, но и в рублях. Для этого надо знать цену каждого вида продукции. Поскольку она может меняться от года к году, обозначим через λ_jk цену j-го вида продукции в k-й год. Эти цены можно записать в виде (n×s)-матрицы Λ, где n-число видов продукции и s- число лет. Например, при s=4 имеем матрицу

.

Выпуск продукции i-м заводом за k-й год, выраженный в рублях, составит величину

a_ik = x_i1λ_1k + x_i2λ_2k + ... + x_inλ_nk, (1)

где каждое слагаемое есть произведение величины выпуска соответствующего вида продукции в выбранных единицах на стоимость единицы этой продукции в рублях. Числа a_ik образуют матрицу A с m (у нас m = 5) строками и s(у нас s = 4) столбцами. Такую матрицу принято называть произведением матриц X и Λ:

A = X ·Λ.

Итак, если X является (m×n)-матрицей, а Λ - (n×s)-матрицей, то их произведением называют (m×s)-матрицу A = X Λ, состоящую из элементов, определяемых по формуле (1). При умножении квадратных матриц n-го порядка снова получается квадратная матрица n-го порядка.

Особую роль играет матрица E

,

у которой вдоль диагонали из верхнего левого угла в правый нижний стоят единицы, а остальные элементы равны нулю; для любой квадратной матрицы n×n X имеем: XE = EX = X, т.е. она играет роль единицы. Если определитель квадратной матрицы X отличен от нуля, то существует обратная ей матрица X^-1, такая, что XX^-1 = X^-1X = E. Возникает матричная алгебра, в которой верны многие правила обычной алгебры, например (XY)Z = X(YZ), X(Y + Z) = XY + XZ и т.д. Однако умножение не является коммутативным, т.е., вообще говоря, XY ≠ YX.

Впервые матрицы встретились в математике в связи с решением систем линейных уравнений. С системой уравнений

    (2)

связаны матрица A = (a_ij), составленная из коэффициентов этих уравнений, и расширенная матрица, получаемая добавлением к матрице A столбца свободных членов. Операции, производимые при решении системы уравнений (2), можно выполнять непосредственно над расширенной матрицей. Такую запись решения применяли древнекитайские математики во II в. до н.э., а в европейской науке матричная запись систем линейных уравнений применяется с XIX в.

В наши дни теория матриц находит обширные приложения в вычислительной математике, физике, экономике и других областях науки.