ВЕКТОР

Вектор – одно из основных геометрических понятий. Вектор характеризуется числом (длиной) и направлением. Наглядно его можно представить себе в виде направленного отрезка, хотя, говоря о векторе, правильнее иметь в виду целый класс направленных отрезков, которые все параллельны между собой, имеют одинаковую длину и одинаковое направление (рис. 1). Примерами физических величин, которые имеют векторный характер, могут служить скорость (поступательно движущегося тела), ускорение, сила и др.

Рис. 1

Понятие вектора появилось в работах немецкого математика XIX в. Г. Грассмана и ирландского математика У. Гамильтона; затем оно было охотно воспринято многими математиками и физиками. В современной математике и ее приложениях это понятие играет важнейшую роль. Векторы применяются в классической механике Галилея-Ньютона (в ее современном изложении), в теории относительности, квантовой физике, в математической экономике и многих других разделах естествознания, не говоря уже о применении векторов в различных областях математики.

Каждый из направленных отрезков, составляющих вектор (рис. 1), можно назвать представителем этого вектора. Вектор, представителем которого является направленный отрезок, идущий от точки A к точке B, обозначается через . На рис. 1 имеем   , т.е.  и  - это один и тот же вектор (представителями которого являются оба направленных отрезка, выделенных на рис. 1). Иногда вектор обозначают малой буквой со стрелкой: , .

Вектор, изображаемый направленным «отрезком», у которого начало и конец совпадают, называется нулевым; он обозначается через , т.е. . Два параллельных вектора, имеющих одинаковые длины, но противоположные направления, называются противоположными. Если вектор обозначен через , то противоположный ему вектор обозначается через .

Назовем основные операции, связанные с векторами.

I. Откладывание вектора от точки. Пусть  - некоторый вектор и A - точка. Среди направленных отрезков, являющихся представителями вектора , имеется направленный отрезок, начинающийся в точке A. Конец B этого направленного отрезка называется точкой, получающейся в результате откладывания вектора  от точки A (рис. 2). Эта операция обладает следующим свойством:

I1. Для любой точки A и любого вектора  существует, и притом только одна, точка B, для которой .

Рис. 2

Сложение векторов. Пусть  и  - два вектора. Возьмем произвольную точку A и отложим вектор  от точки A, т.е. найдем такую точку B, что  (рис. 3). Затем от точки B отложим вектор , т. е. найдем такую точку C, что . Вектор  называется суммой векторов  и  и обозначается через . Можно доказать, что сумма  не зависит от выбора точки A, т.е. если заменить A другой точкой A₁, то получится вектор , равный  (рис. 3). Из определения суммы векторов вытекает, что для любых трех точек A,B,C справедливо равенство

I2:

(«правило трех точек»). Если ненулевые векторы  и  не параллельны, то их сумму удобно находить с помощью правила параллелограмма (рис. 4).

Рис. 3

Рис. 4

II. Основные свойства суммы векторов выражают следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов , , ):

II1. .

II2. .

II3. .

II4. .

Заметим еще, что сумма нескольких векторов находится последовательным нахождением суммы двух из них. Например: .

При этом, в каком бы порядке мы ни складывали заданные векторы, результат (как это вытекает из свойств, названных в пунктах II1, и II2) всегда будет одним и тем же. Например:

.

Далее, геометрически сумма нескольких векторов  может быть получена следующим образом: надо направленные отрезки, являющиеся представителями этих векторов, последовательно отложить друг за другом (т.е. так, чтобы начало второго направленного отрезка совпадало с концом первого, начало третьего – с концом второго и т.д.); тогда вектор  будет иметь своим представителем «замыкающий» направленный отрезок, идущий от начала первого к концу последнего (рис. 5). (Заметим, что если при таком последовательном откладывании получается «замкнутая векторная ломаная», то .)

Рис. 5

III. Умножение вектора на число. Пусть  - ненулевой вектор и k - отличное от нуля число. Через  обозначается вектор, определяемый следующими двумя условиями: а) длина вектора  равна ; б) вектор  параллелен вектору , причем его направление совпадает с направлением вектора  при k>0 и противоположно ему при k<0 (рис. 6). Если справедливо хотя бы одно из равенств , k = 0, то произведение  считается равным . Таким образом, произведение  определено для любого вектора  и любого числа k.

Рис. 6

Следующие 4 равенства (справедливые для любых векторов ,  и любых чисел k, l) выражают основные свойства операции умножения вектора на число:

III1. .

III2. .

III3. .

III4. .

Из этих свойств вытекает ряд дальнейших фактов, связанных с рассмотренными операциями над векторами. Отметим некоторые из них, часто применяемые при решении задач.

а) Если M - такая точка отрезка AB, что |AM| : |BM| = k, то для любой точки O справедливо равенство , в частности если M - середина отрезка AB, то .

б) Если M - точка пересечения медиан треугольника ABC, то ; кроме того, для любой точки O справедливо равенство  (обратные теоремы также справедливы).

в) Пусть M - точка прямой l и  - ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Точка A в том и только в том случае принадлежит прямой l, если  (где k - некоторое число).

г) Пусть M - точка плоскости α и ,  - ненулевые и непараллельные между собой векторы, параллельные этой плоскости. Точка A в том и только в том случае принадлежит плоскости α, если вектор  выражается через  и , т.е. .

Наконец, отметим еще свойство размерности, выражающее тот факт, что пространство трехмерно.

IV. В пространстве существуют такие три вектора , , , что ни один из них не выражается через два других; любой четвертый вектор  выражается через эти три вектора: .

Например, если , ,  - три ненулевых вектора, направленных вдоль ребер параллелепипеда, исходящих из одной вершины, то эти векторы , ,  обладают свойством IV (рис. 7).

Рис. 7

V. Скалярное произведение  векторов  и  определяется равенством:

Следующие 4 соотношения (справедливые для любых векторов , ,  и любого числа ) выражают основные свойства операции скалярного умножения векторов:

V1. ,

V2. .

V3.

V4. Если , то  (здесь через  обозначено скалярное произведение вектора  на себя).

Заметим в связи со свойством V4, что число  равно квадрату длины вектора , т. е. .

Со скалярным произведением связано понятие ортогональности: два вектора  и  называются ортогональными, если . Иначе говоря, если векторы  и  ортогональны, то либо они оба ненулевые и образуют прямой угол, либо хотя бы один из этих векторов равен  (и тогда угол между ними не определяется).

Перечисленные выше свойства векторных операций во многом похожи на свойства сложения и умножения чисел. В то же время вектор – геометрический объект, и в определении векторных операций используются такие геометрические понятия, как длина и угол; этим и объясняется польза векторов для геометрии (и ее приложений к физике и другим областям знания). Однако для решения геометрических задач с помощью векторов необходимо прежде всего научиться «переводить» условие геометрической задачи на векторный «язык». После такого «перевода» осуществляются алгебраические вычисления с векторами, а затем полученное векторное решение снова «переводится» на геометрический «язык». В этом и состоит векторное решение геометрических задач.

При изложении курса геометрии в школе вектор дается как определяемое понятие (см. Определение), и потому принятая в школьном учебнике аксиоматика (см. Аксиоматика и аксиоматический метод) геометрии ничего не говорит о свойствах векторов, т.е. все эти свойства должны доказываться как теоремы.

Существует, однако, и другой путь изложения геометрии, при котором первоначальными (неопределяемыми) понятиями считаются вектор и точка, а отмеченные выше свойства I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4 принимаются за аксиомы. Такой путь построения геометрии был предложен в 1917 г. немецким математиком Г. Вейлем. Здесь прямые и плоскости являются определяемыми понятиями. Преимущество такого построения в его краткости и в органической связи с современным пониманием геометрии как в самой математике, так и в других областях знания. В частности, аксиомы II1-II4, III1-III4 вводят так называемое векторное пространство, используемое в современной математике, в физике, математической экономике и т.д.