МНОГОЧЛЕН

Многочленом P(x) от одной переменной x называют выражение вида

P(x) ≡ a₀ + a₁x + a₂x²+...+ a_nxⁿ, a_n ≠ 0.    (1)

Число n называют степенью многочлена, a_n – старшим коэффициентом, a₀ – свободным членом.

Для многочленов определены операции сложения и умножения по правилам:

( a₀ + a₁x + a₂x²+...) + ( b₀ + b₁x + b₂x²+...) =

(a₀ + b₀) + (a₁ + b₁)x +...;     (2)

(a₀ + a₁x + a₂x² + ...)(b₀ + b₁x + b₂x² + ...) =

a₀b₀ + (a₀b₁ + a₁b₀)x + (a₀b₂ + a₁b₁ + a₂b₀)x² + .... (3)

Нетрудно проверить, что свойства операций над многочленами аналогичны свойствам арифметических операций над действительными числами:

P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)

P(x)Q(x) = Q(x)P(x)

(P(x) + Q(x)) + R(x) = P(x) + (Q(x) + R(x))

(P(x)Q(x))R(x) = P(x)(Q(x)R(x))

P(x)(Q(x) + R(x)) = P(x)Q(x) + P(x)R(x)

Уравнение вида P(x)=0, где P(x) – многочлен n-й степени от x, называют алгебраическим уравнением n-й степени. Число x₀, такое, что P(x₀)=0, называют корнем многочлена. В 1799 г. немецкий математик К. Ф. Гаусс доказал теорему, которая носит название «основная теорема алгебры многочленов»: любой многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.

В конце XVIII в. французский математик Э. Безу сформулировал и доказал следующую теорему: остаток от деления многочлена P(x) (с действительными коэффициентами) на двучлен x-a равен P(a). Отсюда, в частности, получается, что если a - корень многочлена P, то P(x) делится без остатка на x-a. Наибольшая степень k такая, что многочлен P(x) делится на (x-a)^k, называется кратностью корня a. Так как при делении многочлена степени n на двучлен x-a получается многочлен степени n-1, то с учетом основной теоремы алгебры приходим к выводу: многочлен степени n (с комплексными коэффициентами) имеет в точности n корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Кроме того, этот многочлен можно разложить на линейные множители:

a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ = a_n(x-a₁)^k1(x-a₂)^k2...(x-a₅)^k5,      (4)

где a₁,a₂,...,a₅ - корни многочлена, k₁, k₂,..., k₅ = n, k_i - кратность корня a_i. Можно доказать, что если a+bi – корень многочлена с действительными коэффициентами, то и a-bi - также его корень. Перемножая в разложении (4) множители (x-a-bi) и (x-a+bi), получим многочлен второй степени с действительными коэффициентами: (x - a - bi)(x - a + bi) = (x-a)² + b². Отсюда следует, что многочлен с действительными коэффициентами можно разложить на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами.

Французский математик Ф. Виет (1540-1603) установил следующие соотношения между корнями x¹,x²,...,xⁿ уравнения

xⁿ + a₁x^n-1 + a₂x^n-2+...+ a_n-1x + a_n = 0

и его коэффициентами:

x₁ + x₂ + ... + x_n = -a₁

x₁x₂ + x₁x₃ + ... + x_n-1x_n = a₂

x₁x₂x₃ ... x_n = (-1) ⁿa_n

Это утверждение называется теоремой Виета. Для квадратного трехчлена x² + px + q соотношения имеют вид

x₁ + x₂ = -p

x₁x₂ = q

где x₁ и x₂ - корни трехчлена.

Велика роль многочленов в математике. Многочлены являются довольно простыми функциями. Их легко дифференцировать и интегрировать. Оказывается, любую непрерывную функцию на заданном отрезке можно сколь угодно хорошо приблизить многочленом, например так, чтобы их значения отличались меньше чем на 0,001. Приближение функции многочленом в небольшой окрестности некоторой точки определения функции позволяет выяснить характер поведения функции вблизи этой точки: возрастает или убывает функция, или в этой точке она имеет экстремум (см. Экстремум функции).

Большой вклад в теорию приближения функций многочленами внес П. Л. Чебышев.

«Ты когда-нибудь видела, как рисуют множество?» - «Множество чего?» - спросила Алиса. - «Ничего, - отвечала Соня. - Просто множество!». Л. Кэролл