АСИМПТОТА

Асимптота кривой – это прямая, к которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность. Представьте себе мчащийся по прямолинейному шоссе автомобиль и всадника, скачущею по полю с той же скоростью, но направленной в каждый момент на автомобиль. Маршрут всадника в этом случае будет кривой линией, называемой трактрисой, для которой линия шоссе является асимптотой. Если кривая, заданная уравнением y=f(x), удаляется в бесконечность при приближении x к конечной точке a, то прямая x = a называется вертикальной асимптотой этой кривой. Такими асимптотами являются прямая x=0 для гиперболы y = 1/x, каждая из прямых x=kπ  (k = 0,±1,±2,...) для функции y = ctg x (рис. 1).

Рис. 1

Помимо вертикальной асимптоты x=0 гипербола y = 1/x имеет еще и горизонтальную асимптоту y=0, как и график функции y = e^-xsin x, однако он, в отличие от гиперболы, пересекает свою горизонтальную асимптоту в бесконечном множестве точек (рис. 2).

Рис. 2

У кривой, носящей название «декартов лист» (рис. 3), уравнение которой x³ + y³ - 3axy = 0, имеется наклонная асимптота, как и у кривой y = x + 1/x² (рис. 4). Коэффициенты k и b в уравнении прямой y = kx + b, являющейся наклонной асимптотой кривой y=f(x) при стремлении к плюс или минус бесконечности, находятся как пределы:

, .

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при k = 0.

Рис. 3

Рис. 4

Исследование асимптот позволяет более четко представить поведение графика функции, поскольку свойства функции вблизи ее асимптоты очень близки к свойствам асимптоты – линейной функции, свойства которой хорошо изучены. Систематическое использование этого свойства породило целое направление в современной математике - «асимптотические методы исследования». Таким образом, понятие, возникшее еще в Древней Греции, переживает в наше время второе рождение.

Не у всякой кривой, уходящей в бесконечность, есть асимптота. Например, известная вам кривая парабола асимптот не имеет.