КОНУС

Прямой круговой конус (от греческою слова konos - «сосновая шишка») – это фигура, получающаяся при вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рис. 1 треугольник ABC вращается около катета AC; точка A называется вершиной конуса, прямая AC - его осью, отрезок AC (и его длина) – высотой конуса. Конус ограничен боковой поверхностью, образующейся при вращении гипотенузы AB, и основанием – кругом, получающимся при вращении второю катета BC.

Рис. 1

С глубокой древности рассматриваются также конические поверхности, составленные из всех прямых пространства, пересекающих данную прямую (ось) в одной точке (вершине), и образующие с осью данный, отличный от прямого, угол. Составляющие коническую поверхность прямые называются ее образующими – они получаются из одной образующей вращением около оси, и поэтому такую коническую поверхность часто называют конусом вращения (рис. 2). Вершина A разделяет конус вращения на две полости. Прямой круговой конус можно определить как часть пространства, ограниченную одной полостью конической поверхности и пересекающей эту полость плоскостью, перпендикулярной оси (рис. 2, вверху). Часть пространства, ограниченная полостью конуса и двумя такими плоскостями, называют усеченным (прямым круговым) конусом (рис. 2, внизу). В пересечении конической поверхности с плоскостью, кроме окружности, могут получиться эллипс, парабола, гипербола (см. Конические сечения). Плоскость, проходящая через вершину конуса A, в сечении может дать пару образующих или единственную образующую (в этом случае плоскость называется касательной к конусу), или же единственную точку A.

Рис. 2

Обобщенный конус с основанием – произвольной плоской фигурой M – и вершиной – не лежащей в плоскости M точкой A - это фигура, которую заполняют отрезки AX, соединяющие вершину со всеми точками X на основании M (рис. 3). Если M - круг, то получается круговой конус, а если к тому же вершина A проецируется в центр круга M, то мы приходим как раз к прямому круговому конусу. Другой частный случай обобщенного конуса – пирамида, получающаяся в том случае, если M – многоугольник. Сечение обобщенного конуса параллельной основанию M плоскостью – фигура M' – разбивает конус на меньший конус и обобщенный усеченный конус с основаниями M и M' (рис. 4). Объем любого конуса (в том числе прямого кругового и пирамиды) вычисляется по формуле:

V=1/3 SH,

где S - площадь основания, а H - высота конуса, т.е. расстояние от вершины A до плоскости основания. Объем любого усеченного конуса равен

,

где S₁ и S₂ - площади оснований M и M', а высота H определяется как расстояние между плоскостями оснований.

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса вычисляется по формуле S₆=πRl, где R – радиус основания, l - длина образующей конуса. Для усеченного (прямого кругового) конуса S₆=π(R+r)l, где R и r – радиусы оснований, l - длина его образующей.

Рис. 3

Рис. 4