ИСААК НЬЮТОН

(1643-1727)

В 1665 г. Исаак Ньютон окончил Кембриджский университет и собирался начать работу там же, в его родном Тринити-колледже. Однако чума, бушевавшая в Англии, заставила Ньютона уединиться на своей ферме, в Вулсторпе. «Чумные каникулы» затянулись почти на два года. «Я в то время был в расцвете моих изобретательских сил и думал о математике и философии больше, чем когда-либо позже», - писал Ньютон. Тогда и сделал молодой ученый почти все свои открытия в физике и математике. Он открыл закон всемирного тяготения и приступил с его помощью к исследованию планет. Он обнаружил, что 3-й закон Кеплера о связи между периодами обращения планет и расстоянием до Солнца с необходимостью следует, если предположить, что сила притяжения Солнца обратно пропорциональна квадрату расстояния до планеты.

Но чтобы исследовать и выражать законы физики, Ньютону приходилось заниматься и математикой. В Вулсторпе Ньютон, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных) и флюэнт, которые у Г. В. Лейбница назывались дифференциалами. Ньютон вычислил производную и интеграл любой степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях ученый подробно пишет в своей самой значительной работе по математике «Метод флюксий» (1670-1671), которая была опубликована уже после его смерти. В ней были заложены основы математического анализа. Ньютон также находит формулу для различных степеней суммы двух чисел (см. Ньютона бином), причем не ограничивается натуральными показателями и приходит к суммам бесконечных рядов чисел (см. Ряды). Ньютон показал, как применять ряды в математических исследованиях.

Когда Ньютон вернулся в Кембридж в 1666 г., он привез бесчисленные и бесценные результаты своих математических занятий в Вулсторпе. У него пока не было времени привести их в форму, пригодную для публикации, и он не торопится с этим. Дел у него прибавляется, в 1669 г. он получает физико-математическую кафедру. В 1672 г. его выбирают членом Лондонского королевского общества (английской Академии наук).

В 1680 г. Ньютон начинает работу над основным своим сочинением «Математические начала натуральной философии», в котором он задумал изложить свою систему мира. Выход книги был крупным событием в истории естествознания. В ней все величественное здание механики строится на основании аксиом движения, которые теперь известны под названием законов Ньютона.

В «Началах» Ньютон чисто математически выводит все основные известные в то время факты механики земных и небесных тел, законы движения точки и твердого тела, кеплеровы законы движения планет.

Многие математические труды Ньютона так и не были своевременно опубликованы. Первые его сравнительно подробные публикации относятся к 1704 г. Это работы «Перечисление кривых третьего порядка», где описаны свойства этих кривых, и «Рассуждения о квадратуре круга», посвященные дифференциальному и интегральному исчислениям.

В 1688 г. И. Ньютона выбирают в парламент, а в 1699 г. он переезжает в Лондон, где получает пожизненное место директора монетного двора.

Работы И. Ньютона надолго определили пути развития физики и математики. Значительная часть классической механики надолго сохранилась в виде, созданном Ньютоном. Закон всемирного тяготения постепенно осознавался как единый принцип, позволяющий строить совершенную теорию движения небесных тел. Созданный им математический анализ открыл новую эпоху в математике.

------------------------------------------

Или если ψ(x) = sin x², то, полагая f(u) = sin u, u = φ(x) = x², получаем, что ψ(x) = f(φ(x)) и, значит, ψ'(x) = f'(u)·φ'(x) = cos u·2x = 2x cos x².

Мы уже отмечали, что к вычислению пределов вида (3), (4), (5), т. е., как теперь можно говорить, к вычислению производной, приводили многие задачи.

Рассмотрим теперь другой классический пример уже чисто геометрического вопроса, который решается в терминах производной, - построение касательной к кривой (см. Касательная).

Требуется построить прямую T (рис. 1), касательную в точке A к кривой – графику функции y=f(x).

«Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение». Ф. Энгельс

Рис. 1

Как и в случае определения мгновенной скорости, построение касательной будет сопровождаться уточнением самого понятия касательной.

Пусть (x₀,y₀) - координаты точки A: как известно, любая не вертикальная прямая, проходящая через точку A, задается уравнением y = y₀ + k·(x - x₀),

где, k = (y-y₀) / (x-x₀)

так называемый угловой коэффициент прямой, характеризующий ее наклон к горизонтальной оси. В нашем случае y₀ = f(x₀), поэтому уравнение прямой, проходящей через точку A, имеет вид y = f(x₀) + k · (x - x₀), и мы хотим выбрать значение коэффициента k так, чтобы прямая была как можно лучше «подогнана» к кривой y=f(x), т. е. лучше всего приближала нашу кривую в окрестности точки A. Значит, мы хотим выбрать k так, чтобы приближенное равенство f(x) ≈ f(x₀) + k · (x - x₀), или, что то же самое, приближенное равенство

,

было возможно более точным при значениях x, близких к x₀.

Но это знакомая ситуация и, с точностью до переобозначений x - x₀ = h, x = x₀ + h, это знакомое нам отношение из формулы (5), следовательно,

.   (6)

Итак, найдено уравнение

y = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀)     (7)

той прямой, которая наилучшим образом приближает кривую y=f(x) в окрестности точки (x₀, f(x₀)). Эту прямую естественно считать искомой касательной к данной кривой в рассматриваемой точке.

Например, если взять параболу y=x², т.е. f(x) = x², то касательная к ней в точке (1,1) в силу (7) будет задаваться уравнением y = 1 + 2(x - 1), которое можно преобразовать к более компактному виду y = 2x - 1.

Выше мы дали физическую интерпретацию производной как мгновенной скорости, а теперь на основании уравнения касательной (7) можно дать геометрическую трактовку производной. А именно, значение f'(x₀) производной f'(x) функции f(x) в фиксированной точке x = x₀ есть угловой коэффициент касательной к графику функции y=f(x) в точке (x₀, f(x₀)).

Это, в частности, означает, что на участках изменения переменной x, на которых f'(x)>0, функция f(x) возрастает; там, где f'(x)<0, функция f(x) убывает, а в точках местных максимумов или минимумов функции ее производная должна обращаться в нуль, ибо касательная в этих точках горизонтальна. Ясно также, что если в некоторой точке x = a производная обратилась в нуль, то нельзя спешить с выводом, что это точка максимума или минимума (см. точку a₄), ибо знак производной может не измениться при переходе через эту точку, и функция будет продолжать возрастать или убывать. Но если производная меняет свой знак при переходе через эту точку (см. точки a₁,a₂,a₃), то ясно, что при x = a функция будет иметь или местный максимум, если идет смена знака с «+» на «-» (как в точках a₁,a₃), или местный минимум, если знаки меняются с «-» на «+» (как в точке a₂).

Сделанные наблюдения о связи знака или нулей производной с характером монотонности (возрастанием, убыванием) функции или с ее экстремумами (максимумами, минимумами) имеют многочисленные применения.

Попробуем, например, проволокой данной длины огородить такой прямоугольный участок луга, чтобы получить возможно более просторный загон для скота, т.е. среди прямоугольников с заданным периметром 2p (т.е. среди изопериметрических прямоугольников) надо найти тот, который имеет наибольшую площадь.

Если x - длина одной из сторон прямоугольника, то при указанном условии длина другой стороны равна p-x, а площадь прямоугольника равна x(p-x). Надо найти максимальное значение функции f(x) = x(p-x) на отрезке 0≤x≤p. Поскольку при x=0 или x = p функция, очевидно, обращается в нуль (прямоугольник вырождается в отрезок), то максимум достигается при каком-то значении x, лежащем между 0 и p. Как найти это значение?

В соответствии со сделанным выше наблюдением максимум значений функции f(x) может быть лишь при том значении x₀, при котором скорость изменения функции равна нулю, т. е. f'(x₀) = 0.

Найдем, используя уже проведенные ранее вычисления, производную нашей функции. Поскольку f(x) = px - x², то f'(x) = p - 2x и f'(x₀) = p - 2x₀ = 0 при x₀ = 1/2 p. По самому смыслу задачи при найденном значении аргумента x функция должна иметь именно максимум. Это можно проверить и формально:

f'(x)>0 при x< 1/2 p и f'(x)<0 при x> 1/2 p.

Таким образом, мы нашли, что искомым прямоугольником с наибольшей площадью является квадрат, длина стороны которого равна 1/2 p.

Решение единым методом различных задач на отыскание максимальных и минимальных значений функций, или, как их принято называть в математике, задач на отыскание экстремумов, является одним из ранних и вместе с тем наиболее популярных и впечатляющих достижений математического анализа (см. Геометрические задачи на экстремум).

До сих пор, следуя И. Ньютону, в качестве главного понятия дифференциального исчисления мы выделяли производную. Г. В. Лейбниц, другой родоначальник математического анализа, в качестве исходного выбрал понятие дифференциала, которое, как мы увидим, логически равноценно понятию производной, но не совпадает с ним. Лейбниц нашел правила вычисления дифференциалов, равноценные правилам отыскания производных, и назвал развитое им исчисление дифференциальным. Это название и сохранилось. Рассмотренные выше примеры помогут нам достаточно быстро разобраться в следующих, на первый взгляд формальных, но очень важных определениях всего дифференциального исчисления.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой при некотором значении x ее аргумента, если приращение Δf = f(x+h) - f(x) этой функции, отвечающее приращению h = (x+h) - x = Δx ее аргумента x, можно представить в виде

f(x+h) - f(x) = k(x)·h + α·h, (8)

где k(x) - коэффициент, зависящий только от x, а α - величина, стремящаяся к нулю при h, стремящемся к нулю.

Таким образом,

f(x+h)-f(x) ≈ k(x)·h,      (9)

т.е. с точностью до погрешности α·h, малой в сравнении с величиной h приращения аргумента, приращение f(x+h) - f(x) дифференцируемой в точке x функции можно заменить величиной k(x)·h, линейной относительно приращения h аргумента x.

Эта приближающая линейная по h функция k(x)·h называется дифференциалом исходной функции f в точке x и обозначается символом df или, более полно, df(x).

В каждой точке x приближающая линейная функция k(x)·h, вообще говоря, своя, что отмечено зависимостью коэффициента k(x) от x.

Поделив обе части равенства (8) на h и учитывая, что величина α стремится к нулю, когда h стремится к нулю, получаем соотношение:

,    (10)

позволяющее вычислять дифференциальный коэффициент k(x) и показывающее, что он просто-напросто совпадает со значением производной f'(x) функции f(x) в точке x.

Таким образом, если функция дифференцируема в точке x, то в этой точке существует указанный в (10) предел, т.е. в ней существует производная f'(x) и k(x) = f'(x).