КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

Квадратным называют алгебраическое уравнение 2-й степени, т.е. уравнение вида

ax²+bx+c=0, где a ≠ 0.     (1)

Выражение D = b² - 4ac называют дискриминантом квадратного трехчлена ax² + bx + c.

Уравнение (1) имеет два корня:

.

При этом если D > 0, то корни действительные и различные, при D=0 корни совпадают (говорят, что уравнение имеет корень кратности два), при D < 0 корни комплексные (комплексно сопряженные).

Для приведенного квадратного уравнения

x² + px + q = 0

формула корней имеет вид

,

а для уравнения ax² + 2bx + c = 0 (с четным коэффициентом при x) – вид

.

Для коэффициентов и корней квадратного уравнения (1) выполняются соотношения:

Эти соотношения называют теоремой Виета, по имени французского математика Ф. Виета (1540-1603).

Особенно удобна эта теорема для приведенного квадратного уравнения:

x₁ + x₂ = -p, x₁x₂ = q.

Уравнения 2-й степени умели решать еще в Древнем Вавилоне во II тысячелетии до н. э. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактатах. Приведем задачу из китайского трактата «Математика в девяти книгах» (приблизительно II в. до н.э.).

«Имеется город с границей в виде квадрата со стороной неизвестного размера, в центре каждой стороны находятся ворота. На расстоянии 20 бу (1 бу = 1,6 м) от северных ворот (вне города) стоит столб. Если пройти от южных ворот 14 бу прямо, затем повернуть на запад и пройти еще 1775 бу, то можно увидеть столб. Спрашивается: какова сторона границы города?» Обозначим сторону квадрата через x. Из подобия треугольников BED и ABC (рис. 1) получим

.

Рис. 1

Поэтому, чтобы определить неизвестную сторону квадрата, получаем квадратное уравнение

x² + (k+l)x - 2kd = 0.

В данном случае уравнение имеет вид

x² + 34x - 71000 = 0,

откуда x = 250 (бу).

Отрицательных корней (в данном случае x = -284) китайские математики не рассматривали, хотя в этом же трактате содержатся операции с отрицательными числами.

Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Один из первых дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.). Среднеазиатский ученый ал-Хорезми (IX в.) в трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации. Суть его рассуждений видна из рис. 2 (он рассматривает уравнение x² + 10x = 39). Площадь большого квадрата равна (x + 5)². Она складывается из площади x² + 10x фигуры, закрашенной голубым цветом, равной левой части рассматриваемого уравнения, и площади четырех квадратов со стороной 5/2, равной 25. Таким образом,

(x+5)² = 39 + 25; x + 5 = ±8; x₁ = 3; x₂ = -13.

Рис. 2

К квадратным уравнениям сводятся многие уравнения путем замены переменной. Приведем некоторые примеры.

1. Биквадратное уравнение

ax⁴ + bx² + c = 0

сводится к квадратному заменой x² переменной y.

2. Уравнение (x+1)² - 6/(x² + 2x) = -4 заменой y = x² + 2x сводится к квадратному уравнению y² + 5y - 6 = 0, корни которого y₁ = 1, y₂ = -6. Из двух уравнений x² + 2x = 1 и x² + 2x = -6 действительные решения имеет только первое: x = -1±√2.

3. Уравнения

4^x - 2^x+1 - 3 = 0, cos 2x = sin x + 1, lg²(x²) + lg x = 1

сводятся к квадратным заменами соответственно y = 2^x, y = sin x и y = lg x.

4. Уравнение

x²/3 + 48/x² = 10(x/3 + 4/x)

сводится к квадратному уравнению заменой

y = x/3 + 4/x (здесь x²/3 + 48/x² = 3(x/3 + 4/x)² - 8 = 3y² - 8; 3y² - 10y - 8 = 0; y₁ = - 2/3, y₂ = 4).

Из получаемых уравнений

x/3 + 4/x = -2/3 и x/3 + 4/x = 4

корни имеет только второе: x = 2(3±√6). Вообще, замена y = x + k/x - одна из наиболее часто встречающихся замен. Например, с помощью такой замены к квадратному уравнению (после деления обеих частей уравнения на x²) сводится уравнение вида

ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0.     (2)

Уравнение (2) обычно называют возвратным или обобщенно – симметрическим.

5. Однородные уравнения

9^x = 6^x + 2·4^x и 2sin² x + 5 sin x cos x + 2 cos² x = 0 сводятся к квадратным уравнениям относительно y заменами соответственно y = (3/2)^x и y = tg x после деления обеих частей первого уравнения на 4^x, второго – на cos²x. Для второго уравнения предварительно проверяется, удовлетворяют ли уравнению те значения x, для которых cos x = 0.

6. Уравнение

x⁴ + (x+2)⁴ = 82,

«симметричное» относительно x + 1, сводится к биквадратному уравнению y⁴ + 6y² = 40 заменой y = x + 1; аналогично уравнение (x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40, «симметричное» относительно x + 3, сводится к биквадратному уравнению (y² - 1)(y² - 4) = 40 заменой y = x + 3. Отметим, что для второго уравнения годится и замена y = x² + 6x, тогда (x+1)(x+5) = y+5; (x+2)(x+4) = y + 8.