МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЭКОНОМИКА

Математическая экономика – теоретическая и прикладная наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов и методы их исследования.

Возникновение математических наук, несомненно, было связано с потребностями экономики. Требовалось, например, узнать, сколько земли засеять зерном, чтобы прокормить семью, как измерить засеянное поле и оценить будущий урожай.

С развитием производства и его усложнением росли и потребности экономики в математических расчетах. Современное производство – это строго сбалансированная работа многих предприятий, которая обеспечивается решением огромного числа математических задач. Этой работой занята огромная армия экономистов, плановиков и бухгалтеров, а расчеты ведут тысячи электронных вычислительных машин. Среди таких задач и проведение расчетов планов производства, и определение наиболее выгодного размещения строительных объектов, и выбор наиболее экономных маршрутов перевозок и т.д. Математическая экономика занимается также формализованным математическим описанием уже известных экономических явлений, проверкой различных гипотез на экономических системах, описанных некоторыми математическими соотношениями.

Рассмотрим два несложных примера, демонстрирующих применение математических моделей в этих целях.

Пусть спрос S и предложение D товара зависят от цены P. Для равновесия цена на рынке должна быть такой (P_*), чтобы товар был распродан и не было его излишков:

D(P_*) = S(P_*). (1)

Но если, например, предложение запаздывает на один временной интервал, то, как показано на рис. 1 (где изображены кривые спроса и предложения как функций цены), при цене P₀ спрос S₀ превышает предложение D₀. И так как предложение меньше спроса, то цена возрастает и товар раскупается по цене P₁>P₀. При такой цене предложение возрастает до величины S₁; теперь уже предложение выше спроса и производители вынуждены распродать товар по цене P₂<P₁, после чего предложение падает и процесс повторяется. Получилась простая модель экономического цикла. Постепенно рынок приходит в равновесие: спрос, цена и предложение устанавливаются на уровне S_*,P_*,D_*.

Рис. 1

Рис. 1 соответствует решение уравнения (1) методом последовательных приближений, который определяет корень этого уравнения, т.е. равновесные цену P_* и соответствующее значение спроса и предложения S_*,D_*.

Рассмотрим более сложный пример - «золотое правило» накопления. Величина выпуска предприятием (в рублях) конечной продукции Y_t в момент времени t определяется затратами труда L_t, производительность которого зависит от отношения степени насыщенности его оборудованием K_t к затратам труда. Математическая запись этого такова:

Y_t = f(K_t/L_t)L_t.    (2)

Конечная продукция распределяется на потребление C_t и накопление оборудования. Если обозначить долю выпуска продукции, идущую на накопление, через s, то

C_t = (1 - s)Y_t.   (3)

В экономике s называют нормой накопления. Ее значение заключено между нулем и единицей.

За единицу времени объем оборудования изменяется на величину накопления

K_t+1 - K_t = sY_t. (4)

При сбалансированном росте экономики все ее составляющие растут с одинаковым темпом роста λ. По формуле сложных процентов получаем:

Y_t = (1 + λ)^tY, L_t = (1 + λ)^tL, K_t = (1 + λ)^tK, C_t = (1 + λ)^tC.

Если ввести величины, характеризующие потребление c = C/L, объем оборудования R = K/L и выпуск продукции y = Y/L на одного работника, то система соотношений (2) - (4) перейдет в систему

y = f(R), λR = sf(R), c = f(R) - sf(R).   (5)

Второе из этих соотношений при заданных темпах роста λ и потреблении s определит фондовооруженность труда R как точку пересечения кривой y = sf(R) и прямой y = λR на рис. 2. Эти линии обязательно пересекутся, так как функция f(R), хотя и монотонно, растет, что означает рост выпуска с ростом вооруженности труда R, однако все более полого, т.е. это вогнутая функция. Последнее обстоятельство отражает тот факт, что дополнительное увеличение оборудования, приходящегося на одного рабочего, из-за роста его загруженности становится все менее эффективным («закон убывающей полезности»). Различным значениям нормы накопления S отвечает семейство кривых y = sf(R). Длина f(R) - sf(R) отрезка AB как следует из формулы (5), равна потреблению c. При s = 1 (точка A₀ на рис. 2) потребления совсем нет – вся продукция идет на накопление оборудования. Уменьшим теперь норму накопления s. Тогда потребление c (длина AB) будет уже ненулевым, хотя темп роста λ экономики (угол наклона прямой OB) остается тем же. В точке с ординатой R_*, для которой касательная к кривой y = f(R) параллельна прямой y = λR потребление c^* максимально. Ей соответствует кривая семейства y = s^*f(R) с некоторой нормой накопления s^*, называемой «золотой нормой накопления».

Рис. 2