СОФИЗМЫ

Софизм - доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Софистами называли группу древнегреческих философов IV-V вв. до н.э., достигших большого искусства в логике.

Приведем пример софизма. Если равны половины, то равны и целые. Полуполное есть то же, что и полупустое, значит, полное – то же самое, что пустое. К софизмам можно отнести доказательство того, что Ахиллес, бегущий в 10 раз быстрее черепахи, не сможет ее догнать. Пусть черепаха на 100 м впереди Ахиллеса. Когда Ахиллес пробежит эти 100 м, черепаха будет впереди него на 10 м. Пробежит Ахиллес эти 10 м, а черепаха окажется впереди на 1 м и т.д. Расстояние между ними все время сокращается, но никогда не обращается в нуль. Значит, Ахиллес никогда не догонит черепаху.

А вот два математических софизма. «Докажем», что все числа равны между собой.

Пусть a и b - произвольные числа и пусть a>b, тогда существует такое положительное число c, что a=b+c. Умножим это равенство на a-b и преобразуем полученное равенство:

a²-ab=ab+ac-b²-bc,

a²-ab-ac=ab-b²-bc,

a(a-b-c)=b(a-b-c).

Разделив обе части полученного равенства на (a-b-c), получим, что a=b. Ошибка здесь находится в самом конце, когда мы делили на число (a-b-c), которое равно нулю.

А вот «доказательство» того, что все треугольники - равнобедренные.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC (рис. 1). Проведем в нем биссектрису угла B и серединный перпендикуляр к стороне AC. Точку их пересечения обозначим через O. Из точки O опустим перпендикуляр OD на сторону AB и перпендикуляр OE на сторону BC. Очевидно, что OA=OC и OD=OE. Но тогда прямоугольные треугольники AOD и COE равны по катету и гипотенузе. Поэтому . В то же время , так как треугольник AOC - равнобедренный. Получаем: .

Рис. 1

Итак, угол BAC равен углу BCA, поэтому треугольник ABC - равнобедренный: AB=BC.

Здесь ошибка в чертеже. Серединный перпендикуляр к стороне и биссектриса противоположного ей угла для неравнобедренного треугольника пересекаются вне этого треугольника.

И еще один пример софизма. Посмотрим на рис. 2. Прямоугольники явно равносоставлены, но площадь одного равна 64 клеткам, а площадь другого - 65. И здесь ошибка в чертеже! Точки B,E,F и D не лежат на одной прямой, а являются вершинами очень узкого параллелограмма, площадь которого равна площади одной клетки - той самой лишней клетки.

Рис. 2