Упражнения с решениями

S1. У маляра заключен постоянный контракт со строительной компанией. В ходе выполнения работ он обычно дает правильную оценку затрат: в одних случаях она несколько завышена, в других занижена, но в среднем соответствует истине. Когда же на постоянном месте маляру не хватает работы, он ищет заказы на рыночных условиях. «Это совсем другое дело, — говорит он. — Выполнение таких заказов всегда обходится мне дороже, чем я рассчитывал». Если исходить из предположения, что оценочные навыки затрат в случае этих двух типов работы одни и те же, чем объясняется такое различие?

S2. Рассмотрите аукцион, на котором предлагается n идентичных объектов и участвует (n + 1) покупателей. Реальная цена объекта одна и та же для всех покупателей и всех объектов, однако у каждого покупателя есть только независимая оценка (допускающая наличие погрешности) общей ценности. Участники торгов подают закрытые заявки. Первые n покупателей получают по одному объекту, и каждый из них платит заявленную цену. Какие факторы повлияют на вашу стратегию участия в торгах? Каким образом?

S3. Вы изучаете рынок подержанных автомобилей и натыкаетесь на модель, которая вам нравится. Владелец автомобиля не указал цену, а просит потенциальных покупателей вносить свои предложения. Анализ информации дает вам весьма приблизительное представление о стоимости автомобиля; по вашему мнению, она с равной вероятностью может составлять любую сумму в диапазоне от 1000 до 5000 долларов (а значит, по вашим расчетам, средняя цена должна равняться 3000 долларов). Владелец, безусловно, знает точную цену автомобиля и примет ваше предложение, если оно ее превысит. Тогда вы получите автомобиль и наконец узнаете правду. Однако у вас есть опыт ремонта автомобиля, поэтому вы понимаете, что, получив автомобиль, сможете поработать над ним и увеличить его стоимость на треть (33,3…%) по сравнению с текущей стоимостью.

a) Какой будет ваша ожидаемая прибыль, если вы предложите 3000 долларов? Следует ли вам делать такое предложение?

b) Какую максимальную сумму вы можете предложить, не потеряв деньги на этой сделке?

S4. В этой задаче вы должны проанализировать частный случай закрытого аукциона первой цены и показать, каким должен быть равновесный размер намеренного снижения цены предложения. Рассмотрим закрытый аукцион первой цены с n покупателями, нейтральными к риску. У каждого покупателя есть личная, независимо выбранная из равномерного распределения значений в интервале [0,1] оценка стоимости выставленного на продажу объекта. Другими словами, для каждого участника торгов все значения в диапазоне от 0 до 1 в равной степени вероятны. Исчерпывающая стратегия каждого покупателя — «функция предложения цены», которая говорит, какую цену b(v) он решит предложить при любом значении v. Для того чтобы вывести формулу функции равновесного предложения цены, понадобится решить дифференциальное уравнение, но вместо этого мы предлагаем вам возможное равновесие и просим подтвердить, что это действительно равновесие Нэша.

Предположим, функция равновесного предложения цены при n = 2 составляет b(v) = v/2 для каждого из двух участников торгов. Иначе говоря, при наличии двух покупателей каждый должен предлагать цену, равную половине своей оценки стоимости выставленного на продажу объекта (что представляет собой значительное снижение цены предложения).

a) Допустим, вы делаете ставку против всего одного соперника, оценка которого равномерно распределена в интервале [0,1] и который всегда предлагает цену, равную половине этой стоимости. Чему равна вероятность того, что вы выиграете аукцион, если предложите цену b = 0,1, b = 0,4, b = 0,6?

b) Сложите вместе ответы, полученные в пункте а. Выразите вероятность того, что вы выиграете аукцион, как функцию вашей цены предложения b.

c) Найдите выражение для ожидаемой прибыли, если ваша оценка составляет v, а цена предложения b при условии, что ваш соперник всегда предлагает цену, равную половине своей оценки. Не забывайте о существовании всего двух вариантов развития событий: вы либо победите, либо проиграете аукцион. Ваша задача — найти среднее значение прибыли с учетом этих двух сценариев.

d) Какое значение b максимизирует вашу ожидаемую прибыль? Оно должно быть функцией от вашего значения v.

e) На основании полученных результатов обоснуйте вывод о том, что равновесие Нэша может быть достигнуто в случае, если действия обоих участников торгов будут соответствовать функции b(v) = v/2.

S5 (дополнительное упражнение). Проанализируйте равновесные стратегии предложения цены на аукционах «платят все», в которых выставленный на продажу товар имеет личную ценность для каждого покупателя, в отличие от ситуации в упражнении S4, где на аукцион «платят все» выставлен товар с известной всем стоимостью. В случае аукциона «платят все» с личной ценностью значения стоимости распределены равномерно в интервале [0,1], а функция равновесного предложения цены выглядит так: b(v) = [(n — 1)/n]vⁿ.

a) Постройте графики функции b(v) при n = 2 и n = 3.

b) Повышается или уменьшается цена предложения в зависимости от количества участников торгов? Ваш ответ могут обусловить значения n и v. Другими словами, в одних случаях ставки повышаются в зависимости от значения n, а в других понижаются.

c) Докажите, что представленная выше функция — действительно функция равновесного предложения цены по Нэшу. Используйте тот же подход, что и в упражнении S4. Помните, что на аукционе «платят все» вы платите даже тогда, когда проигрываете, поэтому ваш выигрыш составляет v — b в случае победы и — b в случае поражения.