Приложение. Поиск значения, максимизирующего функцию

В данном приложении представлен простой метод выбора переменной X для получения максимального значения переменной, которое является ее функцией, скажем Y = F(X). В наших примерах практического применения теории игр эта функция в большинстве случаев будет квадратичной, а именно Y = A + BX + CX². Для таких функций мы выведем формулу X = B / (2C), используемую в данной главе. Мы сформулируем общую идею с помощью дифференциального исчисления, а затем предложим альтернативный подход, в котором это исчисление не применяется и который опирается исключительно на квадратичную функцию[84].

Метод дифференциального исчисления проверяет значение X на оптимальность посредством анализа того, что произойдет со значением функции в случае других значений по любую сторону от X. Если на самом деле X не максимизирует Y = F(X), то результатом увеличения или уменьшения X должно быть уменьшение значения Y. Исчисление предоставляет нам возможность быстро выполнить такую проверку.

Рисунок 5П.1 иллюстрирует основную идею. На нем представлен график функции Y = F(X), для которого мы использовали функцию, подходящую для наших примеров практического применения теории игр, хотя сама идея носит абсолютно универсальный характер. Начнем с любой точки P с координатами (X, Y) на этом графике. Рассмотрим несколько отличающееся значение X, скажем (X + h). Пусть k — это итоговое изменение Y = F(X), то есть точка Q с координатами (X + h, Y + k) также находится на графике. Наклон хорды, соединяющей точки P и Q, — коэффициент k / h. Если значение этого коэффициента положительное, то h и k имеют одинаковый знак: при увеличении X увеличивается и Y. Если значение коэффициента отрицательное, то h и k имеют противоположные знаки, и в случае увеличения X значение Y уменьшается.

Рис. 5П.1. Иллюстрация к производной функции

Если теперь мы проанализируем все меньшие изменения h значения X и все меньшие изменения k значения Y, хорда PQ будет приближаться к касательной к данному графику в точке P. Наклон этой касательной — и есть предельное значение k/h, называемое производной функцией Y = F(X) в точке X. Символически эта производная записывается как F?(X) или dY / dX.

Для нашей квадратичной функции имеем

Y = A + BX + CX² и Y + k = A + B(X + h) — C(X + h)².

Мы можем найти формулу для k следующим образом:

k = [A + B(X + h) — C(X + h)²] — (A + BX–CX²) =

Bh — C[(X + h)² — X²] =

Bh — C(X² + 2Xh + h² — X²) =

(B — 2CX)h — Ch².

Тогда k / h = (B — 2CX) — Ch. В пределе, когда значение h стремится к нулю, k/h = (B — 2CX). Последнее выражение и есть производная нашей функции.

Теперь используем эту производную для проверки на оптимальность. На рис. 5П.2 проиллюстрирована эта идея. Точка M дает самое высокое значение Y = F(X). Функция возрастает по мере приближения к точке M слева (точка L) и убывает после удаления от точки M направо (точка R). Следовательно, производная F?(X) должна быть положительной при значениях X меньше M и отрицательной при значениях X больше M. По условию непрерывности производная в точке M должна равняться нулю. На обычном языке это означает, что график функции должен быть плоским в точке максимума, точнее, касательная в этой точке должна быть горизонтальной.

Рис. 5П.2. Оптимум функции

В нашем примере с квадратичной функцией производная равна F?(X) = B — 2CX. Проверка оптимальности подразумевает, что функция имеет оптимум в точке, значение производной в которой равно 0, то есть в точке X = B/2C. Это и есть та формула, которая приведена в данной главе.

Необходимо выполнить еще одну дополнительную проверку. Если перевернуть график функции, то точка M станет минимальным значением перевернутой функции и в этой самой нижней точке график также будет плоским. Таким образом, для общей функции F(X) установление значения F?(X) равным 0 позволяет получить значение X, которое обеспечивает как минимум, так и максимум. Как же провести различие между этими двумя возможностями?

В точке максимума функция возрастает слева и убывает справа. Следовательно, производная будет положительной при значениях X меньше предполагаемого максимума и отрицательной при значениях X больше предполагаемого максимума. Иными словами, производная, которая рассматривается как функция от X, убывает в этой точке. Убывающая функция имеет отрицательную производную. Стало быть, производная производной, которая называется второй производной исходной функции и записывается как F?(X) или d²Y / dX², должна иметь отрицательное значение в точке максимума. Согласно той же логике вторая производная должна иметь положительное значение в точке минимума — именно это и отличает два случая.

Что касается производной F?(X) = B — 2CX в нашем примере с квадратичной функцией, то применение той же процедуры с h, k по отношению к F?(X), что и в случае F(X), показывает, что F?(X) = — 2C. Значение этой производной будет отрицательным при положительном значении C; именно из такого предположения мы исходили, формулируя задачу в данной главе. Проверка F?(X) = 0 называется условием максимизации первого порядка функции F(X), а F?(X) < 0 — условием второго порядка.

Для того чтобы закрепить эту идею, применим ее в конкретном примере с наилучшим ответом Xavier’s, который мы рассматривали в данной главе. У нас была такая формула:

П_x = — 8(44 + P_y) + (16 + 44 + P_y) P_x — 2(P_x)².

Это квадратичная функция от P_x (при неизменном значении цены другого ресторана P_y). Наш метод позволяет получить ее производную:

Условие первого порядка для P_x для максимизации П_x состоит в том, что эта производная должна быть равной нулю. Установив такое значение производной и определив ее значение относительно P_x, получим то же уравнение, что и в разделе 1.П. (Условие второго порядка: d²П_x / dP_x² < 0, и оно удовлетворено, поскольку вторая производная равна ?4.)

Мы надеемся, что метод с применением дифференциального исчисления покажется вам достаточно простым и вы сможете использовать его в нескольких местах книги, например в главе 11, посвященной коллективному действию. Однако если вы находите его слишком сложным, предлагаем альтернативный метод без исчисления, который работает в случае квадратичных функций. Перегруппируем члены уравнения, описывающего эту функцию, таким образом:

Y = A + BX–CX² =

В окончательном варианте формулы X присутствует только в последнем члене, где содержащий это значение квадрат вычитается (помните, что C > 0). Все выражение максимизируется в случае, если его вычитаемый член становится минимальным, что и происходит, если X = B / 2C. Что и требовалось доказать!

Такой метод дополнения до полного квадрата работает для квадратичных функций, поэтому применим к большинству примеров, рассматриваемых в книге. Однако мы должны признать, что в нем присутствует некий элемент магии. Метод с использованием дифференциального исчисления носит более общий методологический характер, так что изучение основ дифференциального исчисления окупится сторицей.