2. Проблемы коллективного действия в больших группах

В данном разделе мы расширим наш пример с ирригационным проектом на ситуацию, в которой каждый член группы из N фермеров должен решить, принимать ли в нем участие. Здесь нам пригодятся обозначения, введенные выше: C(n) — издержки, которые несет каждый фермер, когда n фермеров из общего количества N решают строить оросительную систему; B(n) — выгода каждого фермера независимо от его участия в проекте. При этом каждый участник проекта получает выигрыш P(n) = B(n) — C(n), а каждый уклоняющийся или предпочитающий не участвовать — выигрыш S(n) = B(n).

Предположим, вы озадачились вопросом, присоединяться к строительству оросительной системы или нет. Ваше решение будет зависеть от действий остальных (N — 1) фермеров, входящих в состав группы. В общем случае вам предстоит решить, когда из остальных (N — 1) фермеров n принимают участие в проекте, а (N — 1 — n) уклоняются от него. Если вы тоже намерены уклониться, количество участников проекта по-прежнему будет равно n, а значит, вы получите выигрыш S(n). Если предпочтете участвовать, количество участников составит n + 1 и вы получите выигрыш P(n + 1). Следовательно, ваш окончательный выбор зависит от сравнения этих двух выигрышей: вы будете строить, если P(n + 1) > S(n), и откажетесь, если P(n + 1) < S(n). Это сравнение применимо ко всем версиям коллективной игры, проанализированным в разделе 1; различия в поведении игроков в разных версиях возникают из-за изменений значений P(n + 1) и S(n) в связи с изменением структуры выигрышей.

Мы можем соотнести примеры игр с двумя участниками из раздела 1 с этой обобщенной схемой. Если в игре только два игрока, то P(2) — это выигрыш одного фермера от реализации проекта, когда другой тоже в нем участвует, а S(1) — выигрыш фермера, уклоняющегося от участия, если другой фермер строит оросительную систему, и т. д. Таким образом, мы можем обобщить таблицы выигрышей на рис. 11.1–11.4, представив их в алгебраической форме. Общая структура выигрышей показана на рис. 11.5.

Рис. 11.5. Общая форма игры с коллективным действием с двумя участниками

Игра, отображенная на рис. 11.5, — это дилемма заключенных, если одновременно выполняются следующие неравенства:

P(2) < S(1), P(1) < S(0), P(2) > S(0).

Согласно первому неравенству, наилучший ответ на стратегию «строить» — «не строить», согласно второму — наилучший ответ на стратегию «не строить» также «не строить», а третьему — что для обоих игроков комбинация стратегий «строить»/«строить» предпочтительнее комбинации «не строить» / «не строить». Это дилемма типа I, если 2P(2) > P(1) + S(1), а значит, общий выигрыш больше, когда оба фермера решают строить, чем когда строительством занимается только один. Вы можете составить аналогичные неравенства, описывающие выигрыши, которые обеспечивают другие типы игр, представленные в разделе 1.

Теперь вернемся к версии игры с участием n игроков. Воспользовавшись функциями выигрышей в случае двух действий, P(n + 1) и S(n), мы можем построить графики, которые помогут нам определить, с каким типом игры мы имеем дело, а также найти в ней равновесие Нэша, которое затем сможем сравнить с социально оптимальным исходом игры.

Рассмотрим конкретную версию игры со строительством оросительной системы, в которой 100 фермеров из одной деревни решают, какое действие предпринять. Допустим, реализация ирригационного проекта позволит повысить продуктивность земельных угодий каждого фермера пропорционально масштабу проекта; в частности, предположим, что выгода каждого фермера при участии n человек в строительстве составляет P(n) = 2n. Представим также, что, если вы не участвуете в проекте, у вас все равно есть возможность воспользоваться его преимуществами, а сэкономленное время потратить на что-то другое, чтобы заработать еще 4, то есть S(n) = 2n + 4. Не забывайте, что ваше решение об участии в проекте зависит от относительной величины P(n + 1) = 2(n + 1) и S(n) = 2n + 4. Два отдельных графика этих функций для каждого отдельного фермера показаны на рис. 11.6, где значения n от 0 до (N — 1) отображены на горизонтальной оси, а на вертикальной — выгода фермера. Если в данный момент в проекте участвует не так много фермеров (а значит, большинство из них уклонились), ваш выбор будет зависеть от относительного положения P(n + 1) и S(n) с правой стороны графика.

Рис. 11.6. График выигрышей в дилемме заключенных со многими участниками

Поскольку на самом деле n принимает только целые значения, технически каждая из функций P(n + 1) и S(n) состоит из дискретного множества точек, а не из непрерывного множества, как подразумевают сглаженные линии на рисунке. Но при большом значении N эти дискретные точки находятся достаточно близко друг от друга, поэтому мы можем их соединить и представить каждую функцию выигрыша в виде непрерывной линии. Кроме того, мы также используем в этом разделе линейные функции P(n + 1) и S(n), для того чтобы сформулировать основные идеи, а более сложные возможности обсудим чуть позже.

Напомним, что вы определяете свой выбор с учетом количества текущих участников проекта n и выигрышей, связанных с каждым действием при таком значении n. На рис. 11.6 проиллюстрирован случай, когда линия S(n) находится полностью над линией P(n + 1). Следовательно, каким бы ни было число других участников (то есть каким бы большим ни было значение n), если вы откажетесь от проекта, ваш выигрыш будет выше, чем в случае согласия. Стало быть, отказ от участия в проекте — ваша доминирующая стратегия. У всех игроков одинаковые выигрыши, а значит, отказ от участия в проекте — доминирующая стратегия каждого игрока. Таким образом, равновесие Нэша в этой игре подразумевает, что все игроки станут уклоняться и оросительная система так и не будет построена.

Обратите внимание, что обе линии поднимаются по мере увеличения n. Какое бы действие вы ни выбрали, вам выгодно, чтобы в проекте участвовало больше фермеров. Левая точка пересечения линии S(n) с вертикальной осью находится ниже правой точки пересечения линии P(n + 1), то есть S(0) = 4 < P(N) = 102. Это говорит о том, что, если все фермеры (в том числе и вы) откажутся от строительства, выигрыш каждого из них (в том числе ваш) будет меньше, чем в случае согласия. Все фермеры добились бы более весомых результатов, чем при равновесии Нэша, если бы можно было обеспечить исход, при котором каждый из них участвует в проекте. Это и делает игру дилеммой заключенных.

Чем равновесие Нэша, найденное с помощью графика на рис. 11.6, отличается от социального оптимума в этой игре? Для того чтобы ответить на данный вопрос, понадобится способ описать общий социальный выигрыш при каждом значении n; мы сделаем это с помощью функций выигрышей P(n) и S(n), чтобы построить третью функцию T(n), отображающую общий выигрыш для общества от проекта с n участниками как функцию n. Он состоит из значения P(n) для каждого из n участников проекта и значения S(n) для каждого из (N — n) тех, кто отказался от участия:

T(n) = nP(n) + (N — n)S(n).

Социальный оптимум наблюдается в случае, когда соотношение между участниками проекта и отказавшимися от него максимизирует общий выигрыш T(n), или при таком количестве участников проекта (то есть при таком значении n), которое максимизирует T(n). Для того чтобы лучше понять, каким может быть этот показатель, удобнее записать T(n) иначе, преобразовав представленное выше выражение в такое равенство:

T(n) = NS(n) — n[S(n) — P(n)].

Этот вариант функции общего социального выигрыша показывает, что мы можем его вычислить, если дадим каждому из N человек выигрыш уклонившегося от строительства, а затем отнимем дополнительную выгоду [S(n) — P(n)] отказавшихся у каждого из n участников проекта.

В играх с коллективным действием, в отличие от игр с распределением общих ресурсов, мы обычно ожидаем, что значение S(n) будет расти по мере увеличения n. Следовательно, значение первого члена выражения, NS(n), также возрастает при увеличении n. Если второй член выражения не увеличивается слишком быстро при увеличении n (как было бы, если бы дополнительная выгода [S(n) — P(n)] человека, отказавшегося от участия в проекте, представляла собой небольшую и постоянную величину), то эффект первого члена доминирует в определении значения T(n).

Именно это происходит с функцией общего социального выигрыша в нашем примере с сотней фермеров. Здесь T(n) = nP(n) + (N — n)S(n) преобразуется в T(n) = n(2n) + (100 — n)(2n + 4) = 2n² + 200n — 2n² + 400 — 4n = 400 + 196n. В данном случае T(n) постепенно увеличивается вместе с n и достигает максимального значения при n = N, когда никто не уклоняется от участия в проекте.

Версия игры с большой группой участников позволяет сделать тот же вывод, что и раньше. Группа фермеров в целом выиграла бы, если бы все фермеры строили оросительную систему, то есть если n = N. Но структура выигрышей такова, что у каждого фермера есть стимул уклониться от этого. Равновесие Нэша в игре (при n = 0) не будет социально оптимальным. Поиск способов достижения социального оптимума — один из важнейших вопросов в области изучения коллективного действия; мы вернемся к нему ниже в данной главе.

В других ситуациях функция T(n) может иметь максимум при другом значении n, а не только при n = N. Иными словами, совокупный выигрыш общества можно максимизировать, допустив определенное уклонение от участия в проекте. Даже в случае дилеммы заключенных необязательно должно быть так, что функция общего выигрыша достигает максимума при максимальном значении n. Если разрыв между S(n) и P(n) растет достаточно быстро при увеличении значения n, то отрицательный эффект второго члена выражения для T(n) перевешивает положительный эффект первого члена выражения по мере приближения n к N; в таком случае лучше всего позволить людям уклониться — другими словами, социально оптимальное значение n может быть меньше N. Этот результат идентичен полученному в ходе анализа второй версии дилеммы заключенных в разделе 1.

Такой исход мы наблюдали бы в нашей деревне, если бы значение S(n) составляло 4n + 4, а не 2n + 4. Тогда T(n) = –2n² + 396n + 400, что больше не является линейной функцией n. На самом деле графический калькулятор или простейшие расчеты позволяют определить, что в данном случае T(n) принимает максимальное значение при n = 99, а не n = 100, как ранее. Изменение структуры выигрышей создало в них неравенство (уклонившиеся от участия в проекте находятся в более выгодном положении, чем его участники), что добавляет еще одну трудность к попыткам общества решить эту дилемму. К примеру, как деревне выбрать одного фермера на роль уклониста?

Теперь рассмотрим ряд других конфигураций выигрышей. Например, когда P(n) = 4n + 36, а значит, P(n + 1) = 4n + 40 и S(n) = 5n, две линии выигрышей пересекутся. Этот случай показан на рис. 11.7. Здесь при малых значениях n P(n + 1) > S(n), то есть если некоторые фермеры участвуют в проекте, вам также лучше участвовать. При больших значениях n P(n + 1) < S(n), то есть если многие фермеры участвуют в проекте, вам лучше этого не делать. Обратите внимание, что эти утверждения эквивалентны идее игры в труса из двух человек, согласно которой «вы уклоняетесь, если ваш сосед работает, и работаете, если сосед уклоняется». Этот случай действительно представляет собой игру в труса. В более общем плане игра в труса происходит, когда у вас есть выбор из двух действий и вы предпочитаете делать то, что большинство других игроков предпочитают не делать.

Рис. 11.7. График выигрышей в игре в труса со многими участниками

Кроме того, рис. 11.7 поможет нам определить положение равновесия Нэша в этой версии игры. Поскольку вам выгодно участвовать в проекте при малых значениях n и отказаться при больших значениях n, то равновесие должно быть при каком-то промежуточном значении n. Вам безразлично, какой именно из двух вариантов выбрать, только при значении n, при котором две линии пересекаются. Точка пересечения соответствует равновесному значению n. На нашем графике P(n + 1) = S(n), когда 4n + 40 = 5n, или когда n = 40; это и есть соответствующее равновесию Нэша количество фермеров, которые будут строить оросительную систему.

Если две линии пересекаются в точке, соответствующей целому значению n, это и будет количество участников проекта согласно равновесию Нэша. Если это не так, то, строго говоря, в игре нет равновесия Нэша. Но на практике, если текущее значение n в данной комбинации — целое число, расположенное сразу же слева от точки пересечения (которая может не быть целым числом), то еще один фермер захочет присоединиться к проекту, а если текущее значение n — целое число, расположенное справа от точки пересечения, то один фермер захочет уклониться от него. Следовательно, количество участников будет находиться в непосредственной близости от точки пересечения, и мы можем с полным основанием утверждать, что она и будет равновесием в приближенном смысле.

Структура выигрышей на рис. 11.7 показывает, что обе линии имеют положительный наклон, хотя это и необязательно. Можно предположить, что выгода каждого человека уменьшается, когда в проекте участвует больше людей, поэтому линии могут иметь отрицательный наклон. Игре в труса с коллективным действием присуща одна важная особенность: когда всего несколько человек выполняют одно действие, любому другому человеку также лучше его выполнять; когда одно действие выполняет много людей, то другому человеку лучше делать что-то иное.

В чем состоит социально оптимальный исход в игре в труса с коллективным действием? Если выигрыш каждого участника проекта P(n) возрастает по мере увеличения числа участников, а выигрыш каждого уклониста S(n) не сильно превышает P(n) каждого участника, то общий социальный выигрыш достигнет максимума, если все участвуют в проекте. Это и есть исход игры в нашем примере, где T(n) = 536n — n²; общий социальный выигрыш увеличивается по n до значения N (в данном случае 100), а значит, n = N — это и есть социальный оптимум.

Однако в более общем плане некоторые варианты игры в труса приведут к социальным оптимумам, в которых лучше допустить определенное уклонение от участия в проекте. Если бы в группе было 300, а не 100 фермеров, мы получили бы именно такой исход. Социально оптимальное количество участников проекта, вычисленных с помощью графического калькулятора или простейших расчетов, составило бы 268. В этом и заключается разница между версиями I и II игры в труса в примере, о котором шла речь в разделе 1. В качестве упражнения вы можете попытаться найти структуру выигрышей, которая приведет к такому исходу в деревне с сотней фермеров. В аналогичных более общих вариантах игры в труса оптимальное количество участников может быть даже меньше, чем в случае равновесия Нэша. В разделе 3 мы более подробно проанализируем вопрос о социальном оптимуме во всех этих версиях игры.

И наконец, рассмотрим третий возможный тип игр с коллективным действием, а именно игру в доверие. На рис. 11.8 представлены графики выигрышей для такой игры, где мы исходим из предположения, что фермеры получают P(n + 1) = 4n + 4 и S(n) = 2n + 100. Здесь S(n) > P(n + 1) при малых значениях n, поэтому, если оросительную систему строят не так уж много фермеров, вам также нужно уклониться от участия в проекте. Но P(n + 1) > S(n) при больших значениях n; тогда, если многие фермеры участвуют в строительстве, вам тоже лучше к ним присоединиться. Иными словами, в отличие от игры в труса, игра в доверие — это игра с коллективным действием, в которой вам необходимо сделать тот же выбор, что и другие ее участники.

Рис. 11.8. График выигрышей в игре в доверие со многими участниками

За исключением обозначений, график на рис. 11.8 практически идентичен графику на рис. 11.7. Однако положение точки, соответствующей равновесию Нэша, в значительной мере зависит от того, как именно обозначены две линии на графике. На рис. 11.8 показано, что при любом начальном значении n, расположенном слева от пересечения, каждый фермер захочет отказаться от участия в проекте и равновесие Нэша будет достигнуто при n = 0, когда все фермеры уклоняются. Однако справа от точки пересечения складывается прямо противоположная картина. Из этой части графика видно, что каждый фермер пожелает участвовать в строительстве, поэтому в игре сформируется еще одно равновесие Нэша при n = N.

Технически в этой игре существует еще и третье равновесие Нэша, если значение n в точке пересечения целое число, как в нашем примере. Тогда мы можем определить, что P(n + 1) = 4n + 4 = 2n + 100 = S(n) при n = 48. Следовательно, если бы n было в точности равно 48, мы увидели бы исход, при котором одни фермеры решили бы реализовывать проект, а другие нет. Эта ситуация могла бы стать равновесием только при таком значении n, но даже тогда она была бы крайне нестабильной. Если бы всего один фермер случайно присоединился не к той группе, его выбор изменил бы стимулы всех остальных фермеров, что привело бы всю игру к одному из равновесий в конечных точках графика. Это и есть два устойчивых равновесия Нэша в данной игре.

Социальный оптимум в этой игре достаточно легко обнаружить на графике на рис. 11.8. Поскольку обе линии на нем восходящие (то есть для каждого члена группы лучше, если в проекте примет участие больше людей), очевидно, что равновесие, которое находится у правого края графика, более благоприятно для всей группы. В нашем примере это подтверждается тем, что значение T(n) = 2n² + 100n + 10 000 возрастает по n при всех положительных значениях n; следовательно, социально оптимальное значение n — это максимальное значение, или n = N. Стало быть, в игре в доверие социально оптимальный исход — это одно из устойчивых равновесий Нэша. В связи с этим получить его может быть даже легче, чем в ряде других случаев. Однако независимо от того, отображает ли он равновесие Нэша в исходной игре, остается актуальным вопрос, как все это осуществить на практике.

До сих пор в наших примерах фигурировали относительно небольшие группы людей, от 2 до 100 человек. Но когда общая численность группы N достаточно большая, один человек оказывает совсем незначительное влияние на ситуацию, поэтому значение P(n + 1) почти равно значению P(n). Таким образом, условие, при котором любой человек предпочтет уклониться от участия в проекте, выглядит так: P(n) < S(n). Выразив это неравенство в выгодах и издержках в связи с общим проектом из нашего примера (а именно P(n) = B(n) — C(n) и S(n) = B(n)), мы увидим, что значение P(n) (в отличие от P(n + 1) в наших предыдущих расчетах) всегда меньше S(n); отдельные люди постоянно будут стремиться к уклонению от участия в проекте, когда значение N очень большое. Поэтому проблемы коллективной реализации общественных проектов в крупной группе почти всегда проявляются в виде дилеммы заключенных. Однако, как мы уже заметили, такой результат не обязательно будет достигаться в небольших группах. То же касается и больших групп в других контекстах, таких как пробки на дорогах, которые мы обсудим немного ниже в данной главе.

В общем мы должны предусмотреть возможность более широкой интерпретации выигрышей P(n) и S(n), чем в представленном выше конкретном примере, учитывающем преимущества и издержки в связи с проектом. Скажем, мы не можем предположить, что функции выигрышей всегда будут линейными. Дело в том, что в самом общем случае P(n) и S(n) могут быть любыми функциями n, графики которых могут неоднократно пересекаться. При этом может присутствовать множество равновесий, хотя каждое из них может представлять один из описанных выше типов[182]. Кроме того, некоторые игры будут отнесены к категории игр с распределением общих ресурсов, поэтому в случае полностью обобщенных игр мы будем говорить о двух действиях, обозначенных символами P и S, которые не обязательно будут означать «участие в проекте» и «отказ от участия в проекте», но это позволит нам использовать для обозначения выигрышей те же символы. Таким образом, когда n игроков совершают действие P, P(n) — это выигрыш каждого игрока, выполняющего действие P, а S(n) — выигрыш каждого игрока, выполняющего действие S.