Упражнения без решений

U1. Вспомните вариант игры в установление цены на пиццу из пункта b упражнения U2 в главе 10, в котором один ресторан (ресторан Донны Deep Dish) был гораздо больше другого (ресторан Пирса Pizza Pies). Таблица выигрышей этой игры выглядит так:

Некооперативное равновесие в доминирующих стратегиях («высокая цена» / «низкая цена») обеспечивает прибыль 132 пиццерии Донны и 70 пиццерии Пирса, что в сумме равно 202. Если бы владельцы обоих ресторанов могли достичь равновесия («высокая цена» /«высокая цена»), их общая прибыль составила бы 156 + 60 = 216, но Пирс не согласился бы на такую цену.

Предположим, рестораны могут достичь поддающегося принудительному выполнению соглашения, по условиям которого оба назначают высокую цену и Донна выплачивает Пирсу определенную сумму. Альтернатива такому соглашению — некооперативное равновесие в доминирующих стратегиях. Владельцы ресторанов ведут переговоры о заключении соглашения, причем переговорная позиция Донны в 2,5 раза сильнее, чем Пирса. Какую сумму выплатит Донна Пирсу по условиям соглашения, достигнутого в результате переговоров?

U2. Рассмотрим двух игроков, договаривающихся по поводу излишка, изначально равного целой величине V, посредством чередующихся предложений. Другими словами, игрок 1 делает предложение в первом раунде; если игрок 2 отклоняет его, он делает предложение во втором раунде; если игрок 1 отклоняет его, он делает предложение в третьем раунде и т. д. Предположим, на протяжении каждого периода имеющийся излишек уменьшается на постоянную величину c = 1. Например, если игроки достигают соглашения во втором раунде, они делят излишек V — 1, если в пятом раунде, то V — 4. Это означает, что игра закончится после V раундов, поскольку больше будет не о чем договариваться. (Для сравнения вспомните пример с билетом на футбол, в котором его стоимость для болельщика начиналась со 100 долларов и снижалась на 25 долларов за одну четверть в течение четырех четвертей матча.) В этой задаче сперва необходимо найти равновесие обратных рассуждений, а затем равновесие обобщенной версии этой игры, в которой два игрока могут иметь BATNA.

a) Начнем с простой версии. Найдите равновесие обратных рассуждений при V = 4. В каком периоде игроки достигнут соглашения? Какой выигрыш x получит игрок 1 и какой выигрыш достанется игроку 2?

b) Найдите равновесие обратных рассуждений при V = 5.

c) Найдите равновесие обратных рассуждений при V = 10.

d) Найдите равновесие обратных рассуждений при V = 11.

e) Теперь подготовьтесь обобщить результат. Каким будет равновесие обратных рассуждений при любом целом значении V? (Подсказка: вам нужно проанализировать четные и нечетные значения V по отдельности.)

Теперь рассмотрите BATNA. Представим, что к концу раунда V соглашение не достигнуто, игрок А получает выигрыш a, а игрок Б — выигрыш b. Предположим также, что a и b — целые числа, удовлетворяющие неравенству a + b < V, а значит, достигнув соглашения, игроки могут получить более высокие выигрыши, чем в противном случае.

f) Допустим, V = 4. Каким будет равновесие обратных рассуждений при любых возможных значениях a и b? (Подсказка: вам может понадобиться вывести более чем одну формулу, точно так же как в пункте e. Если вы не справитесь с этой задачей, попытайтесь сперва решить ее при конкретных значениях a и b, а затем измените их и посмотрите, что произойдет. Для того чтобы выполнить анализ методом обратных рассуждений, вам необходимо определить, на каком шаге значение V уменьшается до такого уровня, что соглашение больше не будет обеспечивать прибыль двум сторонам переговоров.)

g) Предположим, V = 5. Каким будет равновесие обратных рассуждений при любых возможных значениях a и b?

h) Каким будет равновесие обратных рассуждений при любых возможных значениях a, b и V?

i) Смягчите условие о том, что a, b и V — целые числа: пусть они будут неотрицательными, удовлетворяющими неравенству a + b < V. Также измените предположение, что значение V уменьшается на 1 каждый период: пусть оно уменьшается за каждый период на постоянную величину c > 0. Найдите равновесие обратных рассуждений в этой обобщенной задаче.

U3. Пусть x — сумма, которую просит игрок А, а y — сумма, которую просит игрок Б при первом предложении в переговорной игре с чередующимися предложениями при наличии нетерпения. Степень их нетерпения составляет r и s соответственно.

a) Если мы используем приближенные формулы x = s / (r + s) для x и y = r / (r + s) для y, а также если игрок Б в два раза нетерпеливее игрока А, то А получит две трети излишка, а Б — одну треть. Проверьте правильность этого результата.

b) Пусть r = 0,01, а s = 0,02. Сравните значения x и y, найденные с помощью метода аппроксимации, с более точными решениями для x и y, найденными посредством формул x = (s + rs)/(r + s+ rs) и y = (r + rs)/(r + s+ rs), выведенных в данной главе.