5. Стимулирование усилий: простейший случай

Теперь перейдем от первого типа проблем разработки механизмов, в котором цель принципала — добиться раскрытия информации, ко второму типу, в котором присутствует моральный риск. В подобных ситуациях цель принципала — составить такой контракт, который бы стимулировал агента прилагать максимум усилий, хотя их уровень принципалом и не наблюдаем.

Предположим, вы владелец компании, начинающей новый проект, и должны нанять менеджера, который будет контролировать его выполнение. Чем закончится проект — неизвестно, однако эффективный надзор может повысить вероятность успеха. Но менеджеры — обычные люди и будут пытаться прилагать как можно меньше усилий! Если эти усилия наблюдаемы, вы можете составить контракт, предусматривающий такую оплату труда менеджера, которая стимулировала бы его вкладывать достаточный объем усилий в контроль за выполнением проекта[243]. Но если у вас нет возможности отслеживать усилия менеджера, вам необходимо заинтересовать его в успешном выполнении проекта, например, посредством выплаты премии по его завершении. Однако если приложение больших усилий не гарантирует успешной реализации проекта, то эти премии делают доход менеджера неопределенным. При этом менеджер может быть не расположен к риску, а значит, вы должны компенсировать ему возможные издержки в случае его возникновения. Вам нужно разработать такую политику оплаты труда менеджера проекта, которая бы максимизировала вашу ожидаемую прибыль с учетом того, что выбор менеджером уровня усилий зависит от характера и объема вознаграждения. Это и есть задача разработки механизма, решение которой позволит преодолеть проблемы морального риска в связи с возможным уклонением менеджера от выполнения своих обязанностей.

Рассмотрим пример с конкретными числами. Предположим, успешная реализация проекта принесет компании 1 миллион долларов прибыли сверх материальных затрат и затрат на оплату труда. В случае провала прибыль будет равна нулю. При эффективном контроле за выполнением проекта вероятность успеха равна 1/2, а при неэффективном — всего 1/4.

Как отмечалось выше, менеджер проекта не расположен к риску. В приложении к главе 8 мы видели, что нерасположенность к риску можно описать с помощью вогнутой функции полезности. Возьмем в качестве примера простой случай, когда полезность u дохода y (исчисляемого в миллионах долларов) для менеджера определяется функцией квадратного корня: u = ?y. Допустим, дополнительные усилия, необходимые для эффективного контроля, приносят менеджеру отрицательную полезность 0,1, и если он не будет работать на вас, он может получить другую работу, которая не требует дополнительных усилий и оплачивается в размере 90 000 долларов, или 0,09 миллиона долларов, что обеспечивает полезность ?0,09 = 0,3. Таким образом, если вы хотите нанять менеджера, не требуя от него эффективного контроля, вы должны заплатить ему как минимум 90 000 долларов. Если вам необходим эффективный надзор, вы должны обеспечить менеджеру хотя бы такую же полезность, какую он мог бы получить на другой работе. Иными словами, вы должны заплатить ему сумму y, при которой ?y ? 0,1 не меньше 0,3, то есть ?y ? 0,4, или y ? 0,16, или 160 000 долларов.

Если усилия менеджера поддаются наблюдению, вы можете заключить с ним один из двух контрактов: 1) я плачу вам 90 000 долларов, и мне все равно, насколько усердно вы будете работать; 2) я плачу вам 160 000 долларов, но вы должны проводить эффективный надзор за реализацией проекта. Выполнение второго контракта может быть обеспечено в судебном порядке, поэтому, если менеджер согласится его заключить, он не будет увиливать от работы. Ваша ожидаемая прибыль от каждого контракта зависит от вероятности успешного завершения проекта при оговоренном уровне усилий. Таким образом, в случае первого контракта ваша ожидаемая прибыль составит (1/4) ? 1–0,09 = 0,160, или 160 000 долларов, а в случае второго (1/2) ? 1–0,16 = 0,340, или 340 000 долларов. Следовательно, вам выгоднее заплатить менеджеру проекта за интенсивность усилий. В идеальном мире при наличии полной информации вы воспользовались бы вторым контрактом.

Теперь рассмотрим более реалистичный сценарий, когда усилия менеджера ненаблюдаемы. Эта ситуация не создает никаких дополнительных проблем, если для вас неважен уровень прилагаемых менеджером усилий и вас вполне устраивает первый контракт. Однако если этот вопрос для вас принципиален, вы должны использовать механизм стимулирования, основанный на единственном поддающемся наблюдению событии, а именно успехе или провале проекта. В связи с этим предположим, что вы предлагаете менеджеру контракт, по условиям которого он получит x в случае успешной реализации проекта и y вследствие его провала. (Обратите внимание, что x может быть равным нулю, но если это оптимальное значение, оно должно присутствовать в решении. На самом деле это значение не будет равным нулю по причине нерасположенности менеджера к риску.)

Для того чтобы побудить менеджера выбрать более высокий уровень усилий, вы должны гарантировать, что ожидаемая полезность, которую он при этом получит, превысит ожидаемую полезность в случае уклонения. При высоком уровне усилий менеджер может обеспечить успешное выполнение проекта с вероятностью 1/2, а значит, вероятность неудачи также равна 1/2. При обычном уровне усилий он может гарантировать успешную реализацию проекта только с вероятностью 1/4 (вероятность неудачи 3/4). Таким образом, ваш контракт должен обеспечивать выполнение следующего условия:

(1/2)?y + (1/2)?x ? 0,1>(1/4)?y + (3/4)?x, или (1/4)(?y ? ?x) ? 0,1,

или ?y ? ?x ? 0,4.

Это выражение представляет собой ограничение совместимости стимулов в данной задаче.

Далее вы должны убедиться, что менеджер получит достаточную ожидаемую полезность и будет готов работать на вас так, как вы хотите (прилагая большие усилия), вместо того чтобы принимать другое предложение. Тогда ожидаемая полезность менеджера от принятия вашего предложения о работе должна превышать полезность от альтернативной работы; таким образом, ваш контракт должен удовлетворять следующему условию:

(1/2)?y + (1/2)?x ? 0,1 ? 0,3, или ?y + ?x ? 0,8.

Это выражение представляет собой ограничение участия в случае контракта, цель которого — добиться от менеджера повышения усилий по контролю за выполнением проекта.

С учетом этих двух ограничений необходимо максимизировать ожидаемую прибыль П. Вы рассчитываете ее, исходя из того, что выполнение указанных выше ограничений позволит вам добиться от менеджера качественной работы. В связи с этим вы надеетесь, что ваш проект будет успешно выполнен с вероятностью 1/2, а ваша ожидаемая прибыль определяется формулой

П = (1/2)(1 — у) + (1/2)(0 — х) = (1 — у — х)/2.

Математические вычисления в этой задаче существенно упрощает использование квадратных корней x и y вместо самих x и y (другими словами, значений полезности дохода, а не показателей дохода). Запишем эти значения полезности как X = ?x и Y = ?y, то есть x = X² и y = Y². Далее необходимо максимизировать функцию П = (1 — Y² — X²)/2 с учетом ограничения участия Y + X ? 0,8 и ограничения совместимости стимулов Y — X ? 0,4.

В формуле ожидаемой прибыли X и Y указаны со знаком минус, а значит, необходимо сделать оба значения настолько малыми, насколько допускают ограничения. В конечном счете ограничение участия выполняется в случае равенства, когда X и Y имеют малые значения. А как насчет ограничения совместимости стимулов? Если оно не выполняется в случае равенства, то оно не ограничивает выбор значений переменных и его можно исключить из рассмотрения. Предположим, именно так мы и сделали. Тогда мы можем подставить X = 0,8 — Y из ограничения участия в формулу определения прибыли и записать следующее выражение:

П = (1 — Y² — X²)/2 = [1 — Y² —(0,8 — Y)²]/2 = (1 — Y² — 0,64 + 1,6Y — Y²)/2 = (0,36 + 1,6Y — 2Y²)/2 = 0,18 + 0,8Y — Y².

Чтобы максимизировать функцию прибыли, мы снова воспользуемся формулой из приложения к главе 5. Мы имеем B = 0,8 и C = 1, что дает нам значение Y = 0,8/(2 ? 1) = 0,4. Тогда X также равно X = 0,8–0,4 = 0,4.

Это решение подразумевает, что при исключении из рассмотрения ограничения совместимости стимулов оптимальный механизм требует равной оплаты труда менеджера как при успехе, так и при провале проекта. Такой оплаты достаточно, чтобы обеспечить менеджеру полезность 0,4 = 0,3 + 0,1 (полезность от легкой работы в другом месте плюс компенсация за отрицательную полезность дополнительных усилий в целях эффективного надзора за выполнением проекта) для выполнения ограничения участия. Этот результат подтверждается на интуитивном уровне и согласуется с анализом оптимального риска в разделе 1 главы 8. Менеджер не расположен, а вы нейтральны к риску (все, что вас интересует, — это ожидаемая прибыль), поэтому вам выгоднее взять весь риск на себя и исключить элемент случайности из дохода менеджера[244].

Но если менеджер получает один и тот же доход независимо от того, как завершится проект, у него нет стимула прилагать ненаблюдаемые усилия. При этом не принятое во внимание ограничение совместимости стимулов не будет выполняться автоматически, и нам необходимо убедиться в том, что X и Y действительно удовлетворяют ему. Следовательно, оба ограничения должны выполняться в случае равенств Y + X = 0,8 и Y — X = 0,4. Объединив их, получим 2Y = 1,2, или Y = 0,6; этот результат сразу же дает нам X = 0,2. В переводе с полезности на денежные суммы имеем x = X² = 0,04 и y = Y² = 0,36. Таким образом, менеджеру нужно заплатить 40 000 долларов, если проект завершится провалом, и 360 000 долларов — если успехом. Это меньше оговоренных в контракте 1 (подразумевающем низкий уровень усилий) 90 000 долларов в случае провала и больше оговоренных в контракте 2 (высокий уровень усилий в ситуации с полной информацией) 160 000 долларов в случае успеха. Это означает, что менеджера ожидает сочетание «кнута» (низкая оплата в случае провала проекта) и «пряника» (высокая оплата в случае успеха проекта), как это было с подрядчиком в примере со строительством автомагистрали в разделе 3.

При такой схеме вы (владелец) получите ожидаемую прибыль П = (1–0,36 — 0,04)/2 = 0,03, или 300 000 долларов. Эта сумма меньше 340 000 долларов, которые вы бы заработали в идеальной ситуации с полной информацией, когда могли бы составить поддающийся принудительному исполнению контракт, требующий высокого уровня усилий. Разница в размере 40 000 долларов — неизбежные издержки в связи с асимметричностью информации.

Схему оплаты труда менеджера можно описать так: базовая заработная плата в размере 40 000 долларов и премия за успешное выполнение проекта в сумме 320 000 долларов, или (что то же самое) 40 000 заработной платы и доля 32 % в операционной прибыли в размере 1 миллион долларов. Нецелесообразно полагаться только на участие в прибылях, не предложив менеджеру базовую зарплату. Почему? Если бы базовая зарплата равнялась нулю, то в случае успешного выполнения проекта вам пришлось бы выплатить менеджеру сумму y, которая определяется формулой (1/2)?y ? 0,1 = 0,3 или y = 0,64, или 640 000 долларов, чтобы обеспечить его участие. Ваша ожидаемая прибыль составила бы при этом: П = (1–0,64 — 0)/2 = 0,18, или 180 000 долларов, что на 120 000 долларов ниже, чем если бы вы предложили базовую ставку зарплаты и премию (а также на целых 160 000 долларов меньше, чем в ситуации с полной информацией).

Такое снижение прибыли обусловлено нерасположенностью менеджера к риску. Премиальная система оплаты делает его доход весьма рискованным, поэтому, чтобы обеспечить его участие в проекте, вам необходимо назначить настолько большую премию, что это сократит вашу прибыль. Оптимальная система оплаты в условиях асимметричной информации создает приемлемый баланс между «кнутом» и «пряником», обеспечивая менеджеру достаточный стимул для повышения усилий по надзору за выполнением проекта, но не подвергая при этом его доход существенному риску.

Помимо описанных выше ситуаций на рынке труда, моральный риск может возникать и в ходе других взаимодействий. В частности, ему подвержены рынки страховых услуг. Страховым компаниям необходимо решить, как составить приемлемые договоры страхования, стимулирующие клиентов предпринимать действия, снижающие вероятность подачи ими иска о страховом возмещении. Например, страховые компании хотели бы, чтобы люди, которым они продают полисы медицинского страхования, регулярно проходили профилактические медицинские осмотры, а люди, которым они продают полисы автострахования, продолжали практиковать безопасный стиль вождения[245]. Но поскольку у страховой компании, как правило, нет возможности наблюдать за действиями клиентов, создание подходящего страхового полиса требует понимания теории разработки механизмов в условиях асимметричной информации.

Вернемся к примеру с фермером из раздела 1 главы 8, который сталкивается с риском потери урожая из-за плохих погодных условий, таких как засуха. Тогда мы выдвинули предположение, что его доход составит 160 000 долларов при благоприятной погоде и 40 000 при неблагоприятной. Когда эти два сценария в равной степени вероятны (вероятность 0,5 в каждом случае), ожидаемый доход фермера составляет 0,5 ? 160 000 + 0,5 ? 40 000 = 100 000 долларов. Однако при этом среднем значении фермер сталкивается со значительным риском, и если он к нему не склонен, то его будет больше интересовать ожидаемая полезность полученных результатов, а не просто ожидаемый доход.

Предположим, фермер действительно не расположен к риску. В его ситуации функция полезности имеет вид u = ?I, где I — доход фермера. Следовательно, фермер получает полезность , если погода хорошая (дожди), и полезность , если погода плохая (засуха). Тогда его ожидаемая полезность равна 0,5 ? 400 + 0,5 ? 200 = 300.

Что произойдет, если фермеру удастся избежать риска, связанного с угрозой засухи? В частности, в какой ситуации он окажется при наличии возможности всегда получать 100 000 долларов (в данном примере это ожидаемая стоимость), а не 160 000 долларов в одной половине случаев и 40 000 долларов во второй? Давайте на какое-то время оставим в стороне вопрос о том, как фермер мог бы этого добиться, и обратим внимание на то, что при таком исходе он ежегодно получал бы полезность около то есть у фермера была бы более высокая ожидаемая полезность (316 > 300), если бы он нашел способ получать одинаковый доход (а также полезность) в годы с благоприятными и неблагоприятными погодными условиями.

Один из возможных способов добиться выравнивания доходов — страхование. Нейтральная по отношению к риску страховая компания могла бы предложить фермеру контракт, по условиям которого фермер выплачивает компании 60 000 долларов в годы с благоприятными погодными условиями, а страховщик выплачивает фермеру 60 000 долларов в годы с неблагоприятными погодными условиями. Поскольку вероятность каждого исхода — 50 %, ожидаемая прибыль страховой компании при этом равна нулю, что просто обеспечивает ее готовность предложить фермеру такой контракт. С другой стороны, его заключение принесло бы фермеру явную выгоду, так как его ожидаемая полезность возрастает. Следовательно, для обеих сторон был бы приемлем договор страхования, который является полным (покрывает все издержки в связи с неблагоприятным исходом) и справедливым (цена полиса страхования достаточна для возмещения страховых претензий фермера).

До сих пор в этом примере не было проблем с информацией. Однако фермер может предпринимать различные действия, чтобы уменьшить вероятность низкого уровня дохода по причине засухи. Например, он может построить водосборный резервуар, чтобы поливать свои поля в самые засушливые годы. Но строительство и текущий ремонт резервуара требуют определенных затрат. Если фермер построит качественный резервуар и будет за ним следить, то это позволит ему защитить себя от связанных с засухой рисков. Но если резервуар будет протекать, а фермер не будет проводить текущий ремонт, то такой резервуар не выполнит свою функцию, а значит, не снизит риск потери урожая. Если фермер хорошо застрахован, а проверить качество водосборного резервуара и его текущего ремонта посредством обычного осмотра нельзя, у фермера может возникнуть желание уклониться от выполнения этой задачи, чтобы не нести соответствующих затрат. Вероятность такого уклонения и есть источник морального риска в нашем примере.

Предположим, отрицательная полезность в связи с дополнительными затратами на строительство и уход за качественным водосборным резервуаром составляет 25[246]; при этом фермер сокращает вероятность неблагоприятного исхода на 25 %. Тогда при наличии водосборного резервуара ожидаемый доход фермера равен 0,75 ? 160 000 + 0,25 ? 40 000 = 130 000 долларов, а его ожидаемая полезность (при отсутствии страхования) —  0,75 ? 400 + 0,25 ? 200 — 25 = 350 — 25 = 325. То есть при наличии водосборного резервуара ожидаемая полезность выше, чем без него (325 > 300), поэтому если страхование недоступно, фермеру целесообразно предпринять усилия по снижению риска, например, построив водосборный резервуар.

Однако фермер все же может извлечь для себя выгоду из страхования. Страховой полис с выравниванием доходов, который гарантирует фермеру 130 000 долларов каждый год, обеспечил бы ему ожидаемую полезность в размере  даже когда он построит качественный водосборный резервуар и будет проводить его текущий ремонт. Эта полезность выше полезности 325, которую фермер получает, если строит резервуар, но не имеет страховки, поэтому фермер непременно воспользуется страхованием.

Предположим, существует возможность составить полный и справедливый договор страхования, в котором сказано, что фермер должен принять меры по снижению вероятности неблагоприятного исхода на 25 %. Допустим также, что страховая компания может это проконтролировать, направив к фермеру страхового агента для проверки состояния водосборного резервуара. В таком случае, согласно условиям договора страхования, обеспечивающего ежегодный доход 130 000, фермер должен выплачивать страховой компании 30 000 за год с благоприятными погодными условиями, а страховщик фермеру — 90 000 долларов за год с неблагоприятными. Как и прежде, ожидаемая прибыль страховой компании равна нулю (0,75 ? 30000 — 0,25 ? 90000 = 0), но ожидаемая полезность для фермера увеличивается (до 335), поэтому обе стороны примут условия контракта.

Но ситуация меняется, если страховщик не имеет возможности проконтролировать фермера. Фермер может пойти на обман и согласиться на договор страхования «вы платите 30 000 в благоприятный год и получаете 90 000 долларов в неблагоприятный год», но при этом ничего не предпринимать для снижения риска (то есть построить некачественный водосборный резервуар и не проводить его технического обслуживания). Тогда вероятность неблагоприятного года возвращается к 50 %, а доход фермера ежегодно составляет 130 000 долларов. Ожидаемая полезность, которую получит фермер, заключив такой контракт, но не выполняя его условий, равна  — то есть больше, чем во всех предыдущих случаях. Безусловно, эта ситуация невыгодна страховой компании, поскольку ее ожидаемая прибыль составит 0,5 ? 30 000 — 0,5 ? 90 000 = –30 000 долларов. Стало быть, условия контракта неприемлемы для страховщика, поэтому он не станет предлагать его фермеру.

Означает ли это, что фермер вообще не сможет оформить договор страхования, если построит водосборный резервуар и обеспечит его текущий ремонт, а страховщик не сможет это контролировать? Нет. Однако это означает, что фермер не может получить полное страхование, но у него есть вариант заключить договор частичного страхования, по условиям которого страховая компания берет на себя только часть риска, связанного с неблагоприятным исходом.

Напомним, что если фермер построит качественный резервуар и будет правильно за ним ухаживать, согласно полному страхованию он должен выплачивать страховщику 30 000 долларов за благоприятный год и получать от него 90 000 долларов за неблагоприятный год. В действительности такой контракт не стимулирует фермера строить или содержать водосборный резервуар, поэтому страховщик получает отрицательную ожидаемую прибыль. Для того чтобы разработать в данной ситуации оптимальную схему страхования, страховой компании необходимо определить правильное значение суммы X, которую она должна получить в качестве платежа от фермера за благоприятный год (что оставит фермеру 160 000 — X долларов), и правильное значение суммы Y, которую компания должна выплатить фермеру за неблагоприятный год (что увеличит его доход до 40 000 + Y долларов). В таком случае оптимальный механизм страхования должен максимизировать ожидаемую прибыль страховой компании с учетом значений X, Y и вероятностей различных исходов и в то же время гарантировать как сохранение заинтересованности фермера в строительстве водосборного резервуара, так и его готовность заключить договор страхования.

Поскольку процесс вычисления значений X и Y довольно сложный, мы вместо этого рассмотрим конкретную пару чисел, при которых фермер получит частичное страхование и стимулы принять меры, направленные на снижение риска, а компания сможет выйти на уровень безубыточности. Предположим, страховая компания предлагает фермеру договор, предусматривающий страхование рисков в объеме, равном третьей части полного страхования. По условиям контракта, платеж фермера должен составлять 10 000 долларов за благоприятный год (при этом у него останется 150 000 дохода), а выплата фермеру — 30 000 за неблагоприятный год (что обеспечит ему 70 000 долларов). Если фермер все же построит качественный водосборный резервуар и будет регулярно проводить его техническое обслуживание, то контракт обеспечит страховой компании ожидаемую прибыль 0,75 ? 10 000 — 0,25 ? 30 000 = 7500–7500 = 0, а значит, компания захочет предложить фермеру страхование на этом уровне.

Но станет ли фермер соблюдать условия контракта? Другими словами, обеспечивает ли контракт совместимость стимулов? Да, если ожидаемая полезность для фермера при условии страхования и выполнения оговоренных условий превышает ожидаемую полезность заключения договора страхования без выполнения оговоренных мер. То есть такой контракт должен удовлетворять следующему неравенству[247]:

Вычисление значений этих двух выражений дает (приблизительно) 331 > 326, неравенство верно. Следовательно, данный договор частичного страхования удовлетворяет ограничению совместимости стимулов, а значит, побуждает фермера прилагать усилия, направленные на снижение вероятности неблагоприятного исхода.

Удовлетворяет ли этот контракт ограничению участия? Да. Он должен обеспечить фермеру минимум такую же ожидаемую полезность, как он бы получил без страхования. Как мы рассчитали выше, она равна 325, а в результате заключения договора составит 331. Следовательно, фермеру выгоднее заключить договор частичного страхования, чем вообще остаться без страховки, поэтому обе стороны согласятся с его условиями.

Фактические данные, подтверждающие эту теорию страхования и морального риска, можно найти в любом договоре страхования. Большинство страховых полисов содержат различные требования о собственном удержании страхователя и участии в оплате, оставляя часть риска держателя полиса незастрахованным в целях снижения морального риска.