Упражнения с решениями

S1. В игре с политической рекламой, о которой шла речь в разделе 1.Б, партия Л выбирает рекламный бюджет в размере x (миллионов долларов), а партия П — в размере y (миллионов долларов). Мы показали, что правила наилучших ответов в этой игре таковы: для партии П и  для партии Л.

a) Каким будет наилучший ответ партии П, если партия Л потратит на рекламу 16 миллионов долларов?

Используйте указанные выше правила наилучших ответов для подтверждения того, что рекламные бюджеты, обеспечивающие равновесие Нэша, составляют: x = y = 25, или 25 миллионов долларов.

S2. В игре с ценообразованием в ресторанах, представленной на рис. 5.1, функции потребительского спроса на блюда в ресторанах Xavier’s (Q_x) и Yvonne’s (Q_y) определены как Q_x = 44 — 2P_x + P_y и Q_y = 44 — 2P_y + P_x. Кроме того, прибыль каждого ресторана зависит от затрат на обслуживание каждого клиента. Предположим, ресторану Yvonne’s удастся их сократить до 2 долларов на одного клиента, полностью отказавшись от официантов (клиенты сами выбирают блюда у стойки, а несколько оставшихся работников убирают посуду со столов). Ресторан Xavier’s по-прежнему несет расходы в размере 8 долларов на одного клиента.

a) Вычислите заново правила наилучших ответов и цены в соответствии с равновесием Нэша для этих двух ресторанов с учетом изменения объема затрат.

b) Постройте график двух кривых наилучших ответов и опишите различия между ним и графиком, представленным на рис. 5.1. В частности, какая линия сместилась, куда и насколько? Объясните почему.

S3. В Яппи-Тауне два продуктовых магазина: La Boulangerie, который продает хлеб, и La Fromagerie, который торгует сыром. Производство буханки хлеба обходится в 1 доллар, а фунта сыра — в 2 доллара. Если цена La Boulangerie составляет P₁ долларов за буханку хлеба, а La Fromagerie — P₂ доллара за фунт сыра, то их недельные объемы продаж, Q₁ буханок хлеба и Q₂ фунтов сыра, описываются следующими уравнениями:

Q₁ = 14 — P₁ — 0,5P₂, Q₂ = 9–0,5P₁ — P₂.

a) Запишите прибыль каждого магазина как функцию P₁ и P₂ (в следующих упражнениях мы для краткости будем называть ее функцией прибыли). Затем установите соответствующие правила наилучших ответов. Постройте график кривых наилучших ответов и определите цены, соответствующие равновесию Нэша в этой игре.

b) Предположим, оба магазина вступят в сговор и совместно установят цены, позволяющие максимизировать общую сумму своих прибылей. Определите эти цены.

c) Дайте короткое интуитивное объяснение различий между ценами в случае равновесия Нэша и ценами, максимизирующими общую прибыль. Почему максимизация общей прибыли не является равновесием Нэша?

d) В данной задаче хлеб и сыр — взаимодополняющие продукты. Их часто потребляют вместе; именно поэтому снижение цены одного продукта приводит к увеличению объема продаж другого. В ресторанах из примера, приведенного в разделе 1.А, используются взаимозаменяющие продукты. Как это различие объясняет разницу между вашими выводами в отношении правил наилучших ответов, цен в равновесии Нэша и цен, максимизирующих общую прибыль?

S4. В игре на рис. 5.3 есть единственное равновесие Нэша в чистых стратегиях. Тем не менее все девять ее исходов будут рационализируемыми. Обоснуйте это утверждение, объясняя логику своих рассуждений по каждому исходу.

S5. Перечислите рационализруемые стратегии каждого игрока в игре, представленной в упражнении S5 главы 4. Объясните логику своих рассуждений.

S6. В разделе 3.Б данной главы анализируется игра в рыбную ловлю, разыгрываемая в небольшом прибрежном городке. После определения правил наилучших ответов двух лодок можно использовать концепцию рационализации для обоснования равновесия Нэша в данной игре. В ее описании процесс сокращения количества стратегий, которые не могут быть наилучшим ответом, сводится к трем циклам. К третьему циклу мы знаем, что R (количество бочек рыбы, выловленной лодкой 1) должно составлять минимум 9, а S (количество бочек рыбы, выловленной лодкой 2) — минимум 4,5. Процесс сокращения в ходе этого цикла ограничил значения R диапазоном от 9 до 12,75, а значения S — диапазоном от 4,5 до 7,5. Выполните еще один (четвертый) цикл сокращений и покажите полученные к его концу диапазоны значений R и S.

S7. Две тележки для торговли кокосовым молоком (из кокосового ореха) находятся в местах 0 и 1 в одной миле друг от друга на пляже в Рио-де-Жанейро. (На этом пляже кокосовое молоко продают только эти две тележки.) Тележки 0 и 1 назначают цену за каждый кокос p₀ и p₁ соответственно. Кокосовое молоко покупает тысяча отдыхающих, равномерно распределенных вдоль пляжа между тележками 0 и 1. В течение одного дня, проведенного на пляже, один отдыхающий покупает одну порцию кокосового молока. Помимо цены каждый отдыхающий несет транспортные издержки в размере 0,5 ? d² где d — расстояние (в милях) от его пляжного места до кокосовой тележки. В данной системе тележка 0 продает кокосовое молоко всем отдыхающим, находящимся между точками 0 и x, а тележка 1 — всем отдыхающим между точками x и 1, где x — это местоположение отдыхающего, который платит одну и ту же общую цену, куда бы он ни отправился — к тележке 0 или к тележке 1. В таком случае местоположение точки x описывает следующая формула:

p₀ + 0,5x² = p₁ + 0,5(1 — x)².

Две тележки установят цены таким образом, чтобы максимизировать свои показатели чистой прибыли B; прибыль зависит от дохода (цена, установленная тележкой, умноженная на количество покупателей) и издержек (каждая тележка несет издержки в размере 0,25 доллара на один кокос, умноженные на количество проданных кокосов).

a) Выведите для каждой тележки формулу, описывающую количество обслуженных покупателей как функцию от p₀ и p₁. (Помните, что тележка 0 обслуживает покупателей, находящихся между точками 0 и x, то есть просто x, а тележка 1 обслуживает покупателей между точками x и 1, или 1 — x. Иными словами, тележка 0 продает кокосовое молоко x покупателям, а тележка 1 (1 — x) покупателям, где x и (1 ? х) исчисляются в тысячах.)

b) Запишите функции прибыли для двух тележек. Определите правила наилучших ответов для обеих тележек как функцию от цены конкурента.

c) Постройте график правил наилучших ответов, а затем вычислите (и покажите на графике) соответствующий равновесию Нэша уровень цен на кокосовое молоко, продающееся на пляже.

S8. Нефть транспортируется по всему миру в танкерах класса VLCC (водоизмещением свыше 160 тысяч тонн). По состоянию на 2001 год более 92 процентов всех танкеров класса VLCC были построены в Южной Корее и Японии. Допустим, цена новых танкеров VLCC (в миллионах долларов) определяется функцией P = 180 — Q, где Q — количество построенных танкеров, Q = q_Корея + q_Япония. (То есть будем исходить из того, что такие танкеры выпускают только в Японии и Корее, стало быть, они образуют дуополию.) Предположим, затраты на строительство каждого танкера составляют 30 миллионов долларов как в Корее, так и в Японии. Иначе говоря, c_Корея = c_Япония = 30, где затраты на один танкер измеряются в миллионах долларов.

a) Запишите функции прибыли для каждой из двух стран, выраженные через q_Корея и q_Япония, а также либо c_Корея, либо c_Япония. Найдите функцию наилучшего ответа каждой страны.

b) С помощью функций наилучших ответов, вычисленных в пункте а, отыщите соответствующее равновесию Нэша количество танкеров класса VLCC, выпускаемых каждой страной в год. Какова цена танкера VLCC? Какую прибыль получает каждая страна?

c) Затраты на оплату труда на корейских верфях существенно ниже, чем на японских. Теперь предположим, что стоимость строительства одного танкера в Японии составляет 40 миллионов долларов, а в Корее — всего 20 миллионов долларов. Если c_Корея = 20, а c_Япония = 40, какова рыночная доля каждой страны (то есть процент танкеров, которые продает каждая страна, от общего количества проданных танкеров)? Какова прибыль каждой страны?

S9. Расширим предыдущую задачу. Предположим, на рынок строительства танкеров класса VLCC решит выйти Китай. Дуополия, соответственно, превратится в триополию, а значит, хотя цена по-прежнему рассчитывается как P = 180 — Q, количество построенных танкеров описывается формулой Q = q_Корея + q_Япония + q_Китай. Допустим, во всех странах объем затрат на строительство одного танкера составляет 30 миллионов долларов: c_Корея = c_Япония = с_Китай = 30.

a) Запишите функции прибыли для каждой из трех стран, выраженные через q_Корея, q_Япония и q_Китай, а также через c_Корея, c_Япония или с_Китай. Вычислите функцию наилучшего ответа каждой страны.

b) Воспользовавшись решением, полученным в пункте а, определите количество выпущенных танкеров, рыночную долю (см. упражнение S8, пункт с) и прибыль каждой страны. Это потребует решения трех уравнений с тремя неизвестными.

c) Как изменится цена одного танкера VLCC в новой триополии по сравнению с дуополией, представленной в пункте b упражнения S8? Почему?

S10. Моника и Нэнси создали деловое товарищество в целях предоставления консультационных услуг в гольф-индустрии. Каждой из них предстоит решить, сколько усилий вкладывать в этот бизнес. Пусть m — это количество усилий, вкладываемых Моникой, а n — Нэнси.

Общая прибыль товарищества рассчитывается по формуле 4m + 4n + mn и исчисляется в десятках тысяч долларов, а партнеры делят ее поровну. Однако партнеры должны по отдельности нести затраты, связанные с вложением усилий; объем этих затрат в случае Моники составляет m², а в случае Нэнси — n² (также исчисляются в десятках тысяч долларов). Каждая участница товарищества должна принять решение о количестве усилий, не зная о решении коллеги.

a) Если Моника и Нэнси вложат в бизнес усилия m = n = 1, какой выигрыш получит каждая из них?

b) Если Моника вложит усилия m = 1, каким должен быть наилучший ответ Нэнси?

c) Каково равновесие Нэша в этой игре?

S11. Равновесие Нэша можно получить посредством рационализации в играх с кривыми наилучших ответов, направленными вверх, если циклы исключения стратегий, которые не могут быть наилучшими ответами, начинаются с минимально возможных значений. Рассмотрим игру в ценообразование между ресторанами Xavier’s Tapas Bar и Yvonne’s Bistro, представленную на рис. 5.1. Используйте рис. 5.1 и правила наилучших ответов, на основании которых он получен, чтобы приступить к рационализации равновесия Нэша в этой игре. Начните с самых низких цен в двух ресторанах и опишите (минимум) два цикла сужения совокупности рационализируемых цен до равновесия Нэша.

S12. Профессор предлагает Эльзе и ее 49 однокурсникам сыграть в следующую игру. Все студенты одновременно и втайне друг от друга записывают на листках бумаги число от 0 до 100, после чего сдают листки профессору. Тот подсчитывает Х — среднее чисел, выбранных студентами. Студент, число которого окажется наиболее близким к половине от Х, получает 50 долларов. Если такое число выберут несколько студентов, они делят приз поровну.

a) Докажите, что выбор числа 80 — доминируемая стратегия.

b) Какой была бы совокупность наилучших ответов для Эльзы, если бы она знала, что все однокурсники выберут число 40? То есть каков диапазон чисел, в котором каждое число ближе к выигрышному числу, чем 40?

c) Какой была бы совокупность наилучших ответов для Эльзы, если бы она знала, что все ее однокурсники выберут число 10?

d) Найдите симметричное равновесие Нэша в этой игре. Иными словами, какое число будет наилучшим ответом на выбор всеми остальными игроками одного и того же числа?

e) Какие стратегии в этой игре будут рационализируемыми?